Himpunan

Himpunan adalah suatu kumpulan dari objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. Objek-objek dari himpunan didefinisikan dengan jelas, dimaksudkan suatu objek yang dapat ditentukan dengan pasti termasuk dalam himpunan tersebut atau tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Objek yang termasuk dalam himpunan itu disebut anggota (elemen) dari himpunan itu. 

Contoh: 

himpunan wanita cantik (himpunan ini tidak jelas karena kriteria wanita cantik tidak jelas)

himpunan kewan berkaki empat (sapi, kambing, kucing)

Kata-kata lain seperti gugus, kumpulan, kelas, koleksi, keluarga merupakan sinonim dari kata himpunan.

Himpunan disimbolkan dengan huruf kapital A, B, C, ... dan elemen-elemen disimbolkan huruf alfabet kecil a, b, c, ... Notasi " a ⋲ A " dibaca "a ialah elemen atau anggota dari A", dan "d ∉ B" dibaca " d bukan anggota/elemen dari B"

A. Notasi Himpunan

            suatu himpunan dapat dinyatakan dengan dua cara, yaitu a) dengan cara daftar (tabulasi) atau b) dengan notasi pembentuk himpunan.

Cara pertama, dengan cara daftar (tabulasi), yaitu mendaftar atau menuliskan anggota-anggotanya diantara kurung kurawal buka dan kurung kurawal tutup, dan setiap dua anggota berturutan dipisahkan dengan tanda koma ( , ).

contoh:

1. P = {2,3,5,7} adalah himpunan empat bilangan prima pertama, atau himpunan bilangan prima satu angka. Dalam mendaftar anggota-anggota, urutannya urutan anggota-anggota tidak perlu diperhatikan, sehingga himpunan tersebut dapat pula dinyatakan sebagai {3,5,2,7}, {7,3,5,2}, {5,2,7,3}, {5,7,3,2} dan sebagainya

2. Suatu himpunan dapat hanya mempunyai satu anggota dan biasa disebut singleton. Misalnya D = {April}, yaitu himpunan semua nama bulan yang diawali dengan huruf A. E = {10}, ialah himpunan yang anggotanya hanya satu bilangan, yaitu 10

3. Suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota, yang biasanya disebut himpunan kosong dan diberi simbol { } atau ∅ . Misalnya, himpunan bilangan asli yang kuadratnya sama dengan 5, himpunan lembu berkaki seribu. Ingat bahwa {∅} dan {0} masing-masing bukan himpunan kosong, tetapi himpunan-himpunan itu masing-maisng mempunyai satu anggota.

4. Suatu himpunan mempunyai banyak anggota, maka kita dapat menuliskan tiga atau empat anggota dan diikuti dengan tiga titik. Tiga atau empat anggota yang dituliskan tersebut harus dapat memberi petunjuk untuk menentukan anggota-anggota berikutnya. Misalnya, C={0,1,2,3,...} adalah himpunan semua bilangan cacah. A = {1,2,3,...} adalah himpunan semua bilangan Asli. 

Cara kedua, menyatakan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan, yaitu dengan menuliskan satu huruf sembarang sebagai peubah anggota dan syarat keanggotannya serta tanda garis tegak ( | )diantara peubah dan syarat keanggotannya, yang semua tulisan itu berada diantara kurung kurawal buka dan kurung kurawal tutup. Syarat keanggotannya ini harus didefinisikan dengan jelas, artinya sesuatu objek harus dapat ditentukan dengan pasti, sebagai anggota himpunan itu atau tidak. 

contoh:

1. A={x | x bilangan asli} dibaca "himpunan semua x sedemikian hingga x bilangan asli. Tanda " | " dibaca "sedemikian hingga". Atau dapat pula dituliskan sebagai A={bilangan asli} 

misal, D = {x | x < 101 dan x bilangan Asli} atau D = {bilangan asli kurang dari 101}

B. Hubungan Dua Himpunan

        Tiap dua himpunan mempunyai hubungan, diantara: 1) himpunan yang satu merupakan himpunan bagian dari yang lain, 2) dua himpunan sama, 3) dua himpunan saling asing (saling lepas), 4) dua himpunan berpotongan, atau 5) dua himpunan ekuivalen

1. Himpunan Bagian (Subset)

    Misalkan A = {1, 5} dan B = {0,1,2,3,4,5}. Perhatikan bahwa 1 dan 5 masing-masing merupakan anggota dari himpunan A dan juga merupakan anggota dari himpunan B. 

Definisi 3.1.

Himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan B (ditulis A ⊂B), jika setiap anggota A merupakan anggota B

atau dapat ditulis sebagai

                                            A ⊂B jika dan hanya jika ∀x, x ⋲ A ⇒ x ⋲ B

contoh:

1) Misalkan D = {a, i, u, e, o}, yaitu himpunan semua vokal dalam abjad Latin dan E = {a,b,c,.., z}, yaitu himpunan semua abjad Latin. maka D ⊂ E, dan jika F adalah himpunan semua konsonan dalam abjad Latin, maka F ⊂E

2) Semua himpunan bagian dari {a,b,c} adalah {}, {a}, {b}, {c}. {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}. Jadi banyaknya himpunan bagian dari {a,b,c} adalah 8. Berapa banyaka himpunan bagian dari {a,b,c,d} ?

Petunjuk:

Himpunan dari semua himpunan bagian dari A disebut himpunan kuasa dari A (power set of A) yang disimbolkan dengan 2 pangkat A. Jadi, 

Banyaknya anggota himpunan A diberi simbol n (A), banyaknya anggota himpunan 2 pangkat A diberi simbol n (2 pangkat A)

    Dalam suatu pembicaraan atau pembahasan, terkadang kita harus membatasi diri, agar pembicaraan atau pembatasannya fokus pada permasalahan yang dibahas. Dalam himpunan, kita perlu menetapkan suatu himpunan yang anggota-anggota atau himpunan bagian bagiannya merupakan sumber pembahasan. Himpunan seperti ini disebut Himpunan Semesta atau Semesta pembicaraan (Universal Set), yang biasa diberi lambang S atau U dipojok kiri atas pada diagram Venn-Euler atau disebut dengan diagram Venn. Himpunan semesta biasanya digambarkan sebagai persegi panjang dan himpunan bagian-himpunan bagiannya digambarkan sebagai kurva-kurva tertutup sederhana.

contoh:

Jika S = { 1,2,3, ..., 10} sebagai himpunan Semestanya, A= { 1,3,5,7,9} dan B = {3,5,7}, maka diagram Venn dari himpunan - himpunan ini seperti berikut.

2. Dua Himpunan Sama

    Dua himpunan A dan B dikatakan sama ditulis (A=B) jika setiap anggota A merupakan anggota B, dan setiap anggota B merupakan anggota A pula. atau dapat ditulis.

                    A = B jika dan hanya jika ∀x, x ⋲ A ⇒ x ⋲ B) & (∀x, x ⋲ B ⇒ x ⋲ A)

                                                                                 atau

                                                A = B jika dan hanya jika A ⊂B & B ⊂A

Definisi 3.2

Himpunan-himpunan A dan B dikatakan sama (ditulis A = B) jika A merupakan himpunan bagian dari B dan B merupakan himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, dikatakan A tidak sama dengan B (ditulis A ≠ B)

contoh:

1) Jika A = {1,2,3,4} dan B = {4,2,3,1}, maka A = B

2) JIka A = {x | x bilangan asli} dan B = { y | y bilangan bulat positif}, maka A = B

3. Dua Himpunan Ekuivalen

    Dua himpunan berhingga A dan B dengan n (A) = n(B), yaitu banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B, maka dikatakan bahwa himpunan A ekuivalen dengan himpunan B (ditulis A ∼ B)

contoh:

A={1,3,5,7} dan B ={a,b,c,d} adalah dua himpunan yang ekuivalen, yaitu A ∼ B. 

Perhatikan bahwa ketentuan tersebut hanya dikhususkan untuk himpunan-himpunan yang berhingga saja. Untuk himpunan-himpunan yang takhingga yang ekuivalen didefinisikan dengan menggunakan pengertian korespondensi satu-satu contoh pada materi "Fungsi (Pemetaan)"

4. Dua Himpunan Lepas (Saling Asing)

    Dua himpunan yang tidak kosong A dan B dikatakan saling asing atau lepas (ditulis A // B) dan dibaca A lepas dengan B, jika dua himpunan itu tidak mempunyai anggota persekutuan atau setiap anggota A bukan anggota B dan setiap anggota B bukan anggota A.

contoh:

1) Jika A = {1,2,3,4,5} dan B = {7,8,9,10}, maka A // B

2) jika P = {ke,t,a,n} dan Q = {b,a,l,o,n}, maka P // Q

C. Operasi-operasi pada Himpunan

    Apabila diketahui dua himpunan atau lebih, kita dapat membentuk himpunan baru dengan mengoperasikan himpunan-himpunan yang diketahui tersebut. Operasi-operasi pada himpunan seperti Irisan ( ∩ ), gabungan ( ∪ ), komplemen ( ... pangkat c, ... ')

1. Irisan ( ∩ )

     Definisi 3.3.

    Irisan dari himpunan A dan himpunan B ditulis ( A ∩ B dibaca A irisan B) adalah himpunan semua anggota persekutuan himpunan A dan himpunan B, atau dengan kata lain, himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua anggota himpunan A yang sekaligus sebagai anggota B. atau dapat ditulis sebagai.

    

Diagram Venn dari A ∩ B digambarkan seperti di bawah ini, yaitu daerah yang diarsir

contoh:

1) Jika A= {1,2,3,4,5} dan B = {1,3,5,7,9}, maka A ∩ B ={1,3,5}

2) jika P = {r,o,t,i,} dan Q = {m,a,u}, maka P ∩ Q = {} atau ∅ 

    Memperhatikan definisi di atas dan sifat komutatif dari konjungsi, maka dapat disimpulkan bahwa 

A ∩ B = B ∩ A. Dengan kata lain, operasi irisan pada himpunan-himpunan bersifat komutatif. Secara formal sifat komutatif irisan pada himpunan ini dapat ditunjukkan sebagai berikut.

                       A ∩ B = { x | x ⋲ A & x ⋲ B }

                                  ={ x | x ⋲ B & x ⋲ A } sifat komutatif konjungsi

                                  =   B ∩ A

    Memperhatikan definisi irisan tersebut dan mengingat sifat asosiatif konjungsi, maka dapat disimpulkan bahwa operasi irisan pada himpunan juga bersifat asosiatif, yaitu

                                                      A ∩ ( B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C

memperhatikan definisi irisan pada himpunan itu pula, kita dapat menarik kesimpulan bahwa     A ∩ B termuat baik dalam A maupun B, yaitu:

                                                   ( A ∩ B ) ⊂ A  dan ( A ∩ B ) ⊂ B 

2. Gabungan ( ∪ )

    Definisi 3.4

    Gabungan dari himpunan A dan himpunan B (ditulis A ∪ B dan dibaca A gabungan B) adalah himpunan dari semua anggota himpunan A atau B. Atau dapat ditulis sebagai berikut.

Diagram Venn dari A ∪ B digambar dibawah ini, yaitu daerah yang diarsir

contoh:

1) Jika A = {1,2,3,4,5,6} dan B = {2,4,6,8,10} maka A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

2) jika P = {a,n,g,l,o,s} dan Q = {l,o,g,a,s}, maka P ∪ Q = {a,n,g,l,o,s} = P

    Dari definisi gabungan dua himpunan tersebut dan mengingat sifat komutatif disjungsi, maka dimpulkan bahwa operasi gabungan pada himpunan-himpunan bersifat komutatif, yaitu:

                                                            A ∪ B = B ∪ A

    demikian pula, dengan memperhatikan definisi gabungan tersebut dan mengingat sifat asosiatif disjungsi, maka dapat disimpulkan bahwa operasi gabungan pada himpunan-himpunan juga bersifat asosiatif yang ditunjukkan sebagai berikut.

(A ∪ B) ∪ C  =  A ∪ (B ∪ C)  sifat asosiatif gabungan himpunan

dari definisi gabungan itu pula dapat diismpulkan bahwa baik himpunan A maupun himpunan B masing-masing termuat dalam A ∪ B , yaitu:

                                                A ⊂ (A ∪ B)  dan B ⊂ (A ∪ B)

 Teorema 3.1. (sifat distributif)

1. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

2. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

3. Komplemen suatu himpunan

    Misalkan S adalah suatu himpunan semesta, maka komplemen dari himpunan A (ditulis dengan A' dibaca A komplemen) adalah himpunan dari semua anggota himpunan semesta S yang bukan anggota himpunan A. Atau dapat ditulis sebagai berikut.

jika digambarkan dalam diagram Venn seperti berikut.

contoh:

1) Misalkan S {1,2,3, ... 10} sebagai himpunan semesta. Jika A={1,2,3,4,5} maka A'={6,7,8,9} 

2) MIsalkan S = {a,b,c,d,e,f,g,h} sebagai himpunan semesta. Jika A ={b,a,d,e} dan B ={e,c,a}, akan ditunjukkan bahwa (A ∩ B)' = A' ∪ B'

 A ∩ B = {a,e} , (A ∩ B)'={b,d,c}

A' = {c}, B' = {b,d}

A' ∪ B' = {b,d,c}

Tampak disini (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Teorema 3.2. (De Morgan)

1) (A ∩ B)' = A' ∪ B'

2) (A ∪ B)' = A' ∩ B'

Latihan Soal

Kerjakan soal di bawah ini, setelah membaca materi di atas!

1. Himpunan-himpunan berikut ini, manakah yang objek-objeknya didefinisikan dengan jelas?

    a. Himpunan sepuluh penyanyi tercantik

    b. Himpunan nama bulan yang dimulai dengan huruf D

    c. Himpunan delapan rumah besar

    d. Himpunan lima aktor yang paling cerdas

    e. Himpunan semua mahasiswa yang pandai

2. Misalkan D adalah himpunan semua segiempat pada bidang datar. Berikut ini manakah yang merupakan anggota dari D?

     a. bidang empat

    b. limas

    c. jajar genjang

    d. persegi

    e. trapesium

    f. persegi panjang

    g. layang-layang

    h. lingkaran

    i. belah ketupat

3. Apabila A={x | x bilangan asli}, Z = {x | x bilangan bulat} dan Q = {x | x bilangan rasional}, tuliskan himpunan-himpunan berikut ini dengan cara daftar

    a. T = { x ∊ Z | x terbagi oleh 13}

    b. E = {y | y = 2n - 1, n ∊ A }

4. Tuliskan himpunan berikut ini dengan notasi pembentuk himpunan !

    a. Z = { 1, 3, 6, 10, ...}

    b. T = { 0, 4, 8, 12, ...}

5. Diketahui A = { a,b,c,d,e,f} tuliskan anggota himpunan bagiannya!

6. Misalkan S ={p,a,r,e,h,i,y,u,n,g,o,k} sebagai himpunan semesta, P = {p,a,r,n,o} dan T = {k,a,r,u,n,g} dan M = {p,i,r,a,n,g}. Tentukan:

a. P ∩ T

b. P ∩ M

c.  P ∩ (T ∪ M)

d. T ∪ M

e. P' ∪ M'

silahkan bisa dikerjakan dengan waktu pengumpulan Minggu, 28 Mei 2023 pukul 15.00 WIB dengan link pengumpulan

KELAS01

KELAS02

KELAS03

KELAS04

-selamat belajar-

Ukuran Pemusatan Data

Kita perlu mengetahui nilai yang menajdi pusat suatu penyebaran, maksudnya nilai-nilai data di dalam sebara data tersebut berpusat pada nilai itu. Nilai yang menjadi pusat itu dinamakan ukuran pemusatan atau ukuran kecenderungan sentral.

a. Rata-rata Hitung (Mean)

    rata hitung sehari-hari dikenal dengan nama rata-rata saja, rata-rata pengukuran didefinisikan sebagai hasil pembagian jumlah nilai pengukuran oleh banyaknya hasil pengukuran tersebut, selanjutnya digunakan rumus untuk rerata atau mean sebagai berikut.

contoh :

1. Dalam ujian semester Andi mendapatkan nilai matematika 9, bahasa Indonesia 8, Bahasa Inggris 7, dan Pengetahuan Umum 8. Tentukan rata-rata hitungnya dari nilai Andi!

     penyelesaian :

     

    Jadi, nilai rata-rata Andi ialah 8

2. Nilai matemtaika 50 orang siswa 

    

    maka rata-rata meannya

    

    supaya data yang diperoleh ringkas, maka data di atas perlu disusun dalam bentuk kelas-kelas interval yang disebut distribusi frekuensi

Pedoman penyusunan distribusi frekuensi:

1. Urutkan data dari yang terkecil ke terbesar

2. Tentukan banyak kelas interval yaitu tidak ada aturan umum yang menentukan banyak kelas

    untuk menghitung banyaknya kelas dapat digunakan Rumus Sturges, yaitu:

        

3. Tentukan lebar kelas interval 

4. Susun kelas-kelas interval sedemikian sehingga data masuk pada tepat satu kelas interval

    Contoh 

    data terbesar = 99

    data terkecil  = 37

    

b. Median (Nilai Tengah)

        apabila ada sekelompok nilai data yang diurutkan mulai dari yang kecil sampai dengan yang terbesar, maka nilai yang ada di tengah-tengah disebut median. Perlu diketahui bahwa apabila banyaknya data ganjil, amka mediannya data yang ditengah dan jika data genap, maka mediannya adalah rata-rata dari dua data yang di tengah. Jadi median itu sebetulnya data yang membagi sekumpulan data menjadi 2 (dua) kelompok yang sama banyak

contoh:

1. Datanya seperti berikut ini: 4 8 7 9 6 8 5 7 6

    Tentukan mediannya!

   

    Penyelesaiannya:

    data kita urutkan dulu dari yang kecil ke yang terbesar sehingga menjadi 4 5 6 6 7 7 8 8 9

    7 = median

    banyaknya data di atas ada 9 data, sehingga mediannya terletak pada urutan kelima

2. Data seperti  berikut ini:

    3 2 4 1 6 7 10 8

    

    Penyelesaiannya:

    data kita urutkan dahulu dari terkecil sampai ke terbesar sehingga menjadi: 1 2 3 4 6 7 8 10

    banyaknya data tersbeut ada 8 data, sehingga mediannya merupakan penjumlahan dari data ke-4 data  ke-5 dibagi 2, maka didapatkan nilai 5

c. Modus (Nilai yang sering muncul)

    modus merupakan nilai dari sekelompok data yang mempunyai frekunesi muncul paling banyak atau sering. Jadi sekelompok data mungkin bermodus tunggal, ganda, banyak atau tidak bermodus.

contoh:

1. Datanya 3 6  7 8 3 10. Tentukan modusnya

    

    Penyelesaiannya:

    data yang paling banyak muncul adalah 3, jadi modusnya 3

2. Datanya 2 3 4 5 2 4

    Penyelesaiannya:

    Data yang paling banyak muncul ada dua yaitu 2 dan 4

    Jadi modusnya ganda yaitu 2 dan 4

d. Ukuran Sebaran

    ukuran sebaran data yang dibahas adalah rentang antar kuartil, variansi, dan simpangan baku

    1) Rentangan (Range)

        Rentangan data adalah selisih bilangan yang terbesar dan terkecil yang ada pada data tertentu.

        contoh:

        Tentukan rentangan dari 5 7 8 9 4 10

        

        Penyelesaiannya:

        Rentang = 10 - 4 = 6

    

    2) Rentang Antar Kuartil

        Rentang antar kuartil adalah selisih kuartil ketiga (Q3) dan kuartil pertama (Q1) pada data tertentu.

        

        Rentang antar kuartil dirumuskan = Q3 - Q1

        

        contoh :

        Data tentang pembeli bakso setiap hari selama 17 hari seperti berikut:

        32 24 26 28 47 44 26 27 29 33 33 33 37 36 31 30 45

        Tentukan rentangan antar kuartilnya (RAK)

        Penyelesaiannya:

        Untuk mencari Q1, Q3, dan RAK data diurutkan dari terkecil ke terbesar. Sehingga kita peroleh seperti berikut ini:

        24 26 26 27 28 29 30 31 32 33 33 33 36 37 44 45 47

        kemudian mencari median atau Q2 yaitu pada data ke-9 = 32

        mencari Q1 = data ke-5 = 28

        mencari Q3 = data ke -13 = 36

        Jadi RAK = Q3 - Q1 = 36 - 28 = 8

    3) Variansi

        langkah-langkah dalam mencari variansi sekelompok data adalah :

        a) Hitung rerata (mean)

        b) Tentukan perbedaan setiap skor dengan rerata

        c) Kuadrat beda

        d) Bagilah jumlah kuadrat beda dengan n

        

atau

        Keterangan:

        

        contoh: 

        Tentukan variasi dari data : 6 8 7 9 10

        Penyelesaiannya:

    

         Jadi, variansinya = 2

    4) Simpangan Baku (Standar Deviasi)

        simpangan baku adalah akar dari variansi

        

        contoh:

        dengan menggunakan data yang sama dengan contoh sebelumnya dapat dihitung simpangan 

        bakunya = akar 2

Latihan Soal

Kerjakan soal dibawah ini setelah Anda paham dengan apa yang telah Anda baca di atas

    Diketahui sekumpulan bilangan yang merupakan nilai ulangan 18 siswa dalam analisis, sebagai berikut.

    85 75 60 80 75 75 60 70 55 60 90 60 65 70 80 80 85 75

    Hitunglah:

    a) Rataannya

    b) Mediannya

    c) Kuartil pertama dan ketiga

    d) Berapa modusnya

    e) Hitunglah sebarannya

    f) Hitunglah deviasi rata-ratanya

    g) Hitung pula deviasi bakunya

dikumpulkan paling lambat Senin, 22 Mei 2023 dengan format .pdf pukul 15.00 WIB

KELAS01

KELAS02

KELAS03

KELAS04

- selamat bersemangat-

Pengolahan Data

A. Statistika

     Setelah kita mempelajari suatu peristiwa kita dapat menjelaskan, menguraikan, atau memberi pendapat tentang suatu peristiwa atau persoalan atau kejadian tertentu. Untuk itu diperlukan keterangan-keterangan  mengenai kejadian yang disebut data (bentuk jamak dari datum)

    Data dapat berupa keterangan yang dinyatakan dalam bentuk angka atau bilangan. Data yang dinyatakan dalam bentuk bilangan disebut data kuantitatif misalnya: jumlah kursi di kelas 301 sebanyak 35 buah, sedangkan data yang tidak dalam bentuk bilangan disebut data kualitatif. misalnya harga daging sangat mahal.

    Agar data mudah untuk dibaca dan dipelajari perlu disusun lebih dulu, dianalisis, kemudian ditarik kesimpulan dari peristiwa atau persoalannya. Dilanjutkan membuat langkah-langkah untuk membuat ramalan-ramalan atau membuat rencana.

    Ilmu pengetahuan tentang pengumpulan data, penyajian data, penganalisisan data, smapai dengan menarik kesimpulan dari data dan membuat tamalan-ramalan disebut statistika. Bagian dari statistika meliputi metode dan cara mengumpulkannya, menyajikan, mengolah, dan menganalisis data secara deskriptif yang dinamakan statistika deskriptif. Bagian statistika yang digunakan untuk menarik kesimpulan disebut statistika inferensial.

B. Tahapan pada kegiatan statistika

    Tahapan pada kegiatan statistika meliputi: pengumpulan data, penyusunan data, penyajian data, analisis data, penarikan kesimpulan. 

1. Pengumpulan Data

        Langkah pertama dari kegiatan statistika ialah mengumpulkan data. Data yang dikumpulkan harus akurat atau benar-benar erat hubungannya dengan masalah yang dihadapi.Pengumpulan data bertujua untuk mengetahui banyak karakteristik dari objek yang diselidiki. Beberapa cara yang bisa digunakan antara lain: wawancara, kuisioner (angket), dan observasi (pengamatan)

a. Wawancara

        Keterangan-keterangan dari seseorang akan lebih valid jikan didapatkan langsung dari orang tersebut, yaitu melalui wawancara.  Orang yang dianggap mampu memberikan keterangan tentang suatu hal dihubungi dan diwawancarai. Data yang diperoleh melalui wawancara lebih valid, tetapi ada juga kekurangannya yaitu dari segi waktu, untuk mewawancarai seseorang dibutuhkan waktu kurang lebih selama satu atau dua jam. 

        Untuk memperlanacar wawancara diperlukan pedoman wawancara. Misalnya pedoman wawancara yang ditujukan kepada seorang guru SD

1) Apakah Bapak/Ibu menggunakan alat peraga apabila sedang mengajar matematika?

2) Apabila Bapak/Ibu menggunakan alat peraga, apakah menyita waktu banyak? Berikan penjelasannya

b. Kuisioner (Angket)

        Angket merupakan seperangkat daftar pertanyaan yang diisi/dijawab oleh responden tanpa pengawasan dan kemudia dikembalikan oleh responden atas kemauan sendiri atau waktu pengumpulan. Angekt digunakan apabila orang-oarang (responden) yang akan dimintai keterangannya itu cukup banyak atau jauh tempatnya sehingga untuk memperoleh keterangan-keterangan yang diperlukan dapat dibuat daftar pertanyaan yang dikirimkan kepada responden. Daftar pernyataan-pernyataan tersebut disebut kuisioner (angket).

    Data yang diperoleh dari angket dapat berupa keadaan atau data diri, pengalaman, pengetahuan, sikap, pendapat mengenai suatu hal. Di bidang pendidikan contoh data yang dikumpulkan antara lain tentang data kegiatan siswa, guru, proses KBM, sarana dan prasarana.

    Menurut jenis angketnya terbagi menjadi dua, yaitu angket tertutup dan angket terbuka. Angket tertutup merupakan angket yang memuat jawaban sehingga responden hanya memilih jawaban dari jawaban yang tersedia. Angket terbuka merupakan angket yang memuat pertanyaan sehingga responden bebas menjawabnya sebab tidak disesiakan jawaban yang dapat dipilih oleh responden sendiri. Responden harus menyusun sendiri jawaban yang dipandangnya relevan dengan materi yang ditanyakan. Berikut contoh angketnya

Angket tertutup

1). Saya merasa kesulitan menggunakan alat peraga matematika

    a. Sangat Setuju        b. Setuju    c. Biasa saja    d. Tidak setuju    e. Sangat tidak setuju

2) Apakah Anda latihan soal supaya berhasil dalam menyelesaikan soal tes matematika?

    a. Selalu        b. Pernah        c. Kadang-kadang        d. Tidak pernah

Angket terbuka 

1) Sebagai mahasiswa PGSD apakah pendapat Anda tentang mata kuliah matematika? Jelaskan pendapat Anda tentang mata kuliah matematika? Jelaskan pendapat Anda tentang materinya, cara memberi kuliah dosennya dan sistem evaluasi yang dilaksanakan

2) Apakah saran Anda agar perkuliahan untuk mata kuliah matematika berhasil dengan baik?

c. Observasi (Pengamatan)

    Cara ini digunakan untuk memperoleh data yang diperlukan, seseorang atau peneliti merasa perlu melihat, menghayati atau melakukan sendiri kegiatan-kegiatan yang diinginkan atau yang ditelitinya. Untuk memperoleh data yang valid dalam observasi diperlukan suatu pedoman observasi yang dibuat oleh si pengamat guna mempermudah dalam mencatat data yang diinginkan. Berikut contoh bentuk pedoman observasi.

2. Penyusunan Data

    Data yang diperoleh biasanya belum teratur, sehingga untuk mendapat keterangan dari data tersebut tidak mudah atau tidak jelas. Tujuan dari penyusunan data adalah menyusun data dalam susunan yang teratur agar mudah dilihat dan dibaca. 

3. Penyajian Data

    Data kuantitatif biasanya disajikan dalam bentuk daftar yang disebut dafta baris lajur atau dalam bentuk daftar sebaran frekuensi. Untuk data yang banyak sering data tersbeut dikelompokkan lebih dahulu. Tujuan penyajian data ini agar mudah dilihat, dibaca, dan diartikan yang biasanya dibuat dalam bentuk diagram (grafik) atau tabel.

4. Analisis Data

    Analisis data bertujuan untuk memperoleh gambaran yang jelas dari data yang telah disimpulkan dan disusun dalam keseluruhan data

5. Penarikan Kesimpulan

    Penarikan kesimpulan bertujuan untuk menarik kesimpulan dari data yang diperoleh.

C. Penyajian Data dengan Menggunakan Daftar atau Tabel

        Sebuah tabel umumnya terdiri dari beberapa bagian, tabel yang baik dan efisien harus bersifat sederhana dan jelas. Berikut ini contoh bagian-bagian yang terdapat pada tabel

dengan penjelasan seperti berikut.

1) Judul Tabel

    Hal-hal yang harus diperhatikan:

• judul ditulis di atas tabel dengan posisi tulisan harus berada di tengah-tengah 
• judul tabel hendaknya diberi nomor supaya memudahkan dalam pencarian tabel
• apabila judul tabel agak panjang maka penulisannya dilakukan beberapa baris 

2) Judul Baris dan Judul Kolom

    Hal-hal yang harus diperhatikan:

• judul baris dan judul kolom ditulis dengan singkat dan jelas
• apabila judul baris dan judul kolom agak panjang dapat ditulis beberapa baris, tetapi jangan dilakukan pemisahan kata
• nama-nama/keterangan sebaiknya disusun menurut abjad
• apabila ada keterangan yang berhubungan dengan waktu sebaiknya disusun secara berurutan

3) Catatan dan sumber Data

       Biasanya dibagian bawah tabel (dibagian kiri tabel) terdapat tulisan yang merupakan catatan. Sumber data diperlukan untuk menjelaskan darimana data tersebut diperoleh atau dikutip.

D. Penyajian Data dengan menggunakan Grafik atau Diagram

    Terkadang kita dapat memahami suatu tabel jika disajikan dengan cara lain seperti dalam bentuk grafik atau diagram. Diagram adalah gambar-gambar yang menunjukkan visual data berupa bilangan berasal dari tabel yang telah dibuat. Penyajian data dengan grafik atau diagram terlihat lebih menarik, karena dapat memberikan gambaran yang lebih jelas. Beberapa cara untuk menyajikan data, yaitu:

1. Diagram Batang

    langkah-langkah  menyajikan data ke dalam bentuk diagram batang, berikut

• buat dua buah sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal). Sumbu yang mendatar biasanya menunjukkan kategori, sedangkan sumbu tegak menunjukkan bilangan frekuensinya
• buatlah batang untuk masing-maisng jenis kategori yang disesuaikan dengan kondisi datanya, artinya membuat beberapa persegi panjang pada masing-masing nama kategorinya. Dengan lebar yang sama, tetapi tingginya disesuaikan dengan bilangan frekuensinya, sedangkan jarak untuk masing-masing batang dibuat sama
• pada masing-masing batang diberi warna atau arsiran yang sama dan selanjutnya diagram diberi nomor atau judul diagram yang diletakkan di atas gambar diagramnya, sedangkan catatan dan sumber data diletakkan di bawah diagram.

    contoh:

    

2. Diagram Garis

    untuk melihat gambar tentang perubahan dalam periode (jangka waktu) tertentu, diagram garis dapat digunakan dalam berbagai macam laporan atau penelitian ilmiah. Diagram garis menjadi digram yang paling banyak digunakan. Ada kalanya data dalam suatu interval waktu tertentu, perubahannya bersifat atau dipandang kontinu. Misal tentang jumlah penduduk. Pada diagram garis dapat pula terjadi pematahan atau pemutusan sumbu.

langkah-langkah yang harus dilakukan apabila menyajikan data dengan diagram garis, yaitu:

• buatlah dua buah sumbu yang mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal), sumbu yang mendatar biasanya digunakan untuk menunjukkan waktu, sedangkan sumbu tegaknya digunakan untuk menunjukkan bilangan frekuensinya'
• sesuaikan data pada masing-maisng sumbu, artinya dari titik data yang menunjukkan waktu ditarik garis lurus ke atas (garis tipis saja) sehingga memotong garis mendatar (garis tipis saja) yang ditarik dari titik bilangan frekuensinya. Seetelah semua data sudah disesuaikan (masing-masing sudah dibuat titik potong garis tegak dari titik data menunjukkan waktu dengan garis mendatar dar titik bilangan frekuensi data tersebut) terdapatlah sekumpulan titik.
• selanjutnya hubungan titik-titik tersebut sehingga terjadilah atau tergambarlah diagram garis yang diminta
• dilanjutkan dengan memberi nomor diagram, judul diagram yang diletakkan di atas diagram. Dibagian bawah diberi catatan dan sumber data

contoh:

3. Diagram Lingkaran atau diagram pastel

        penyajian data kecuali menggunakan diagram garis dan diagrambatang dapat pula disajikan dengan diagram lingkaran. Diagram lingkaran digunakan apabila macamnya data (hal) yang dibandingkan tidak terlalu banyak, kecuali diagram lingkaran digunakan utnuk menyatakan perbandingan antara bagian-bagian  atau perbandingan antara suatu bagian dengan keseluruahan.

Cara membuatnya, daerah pada lingkaran dibagi-bagi atas sektor-sektor yang besarnya sesuai dengan banyaknya objek yang akan digambarkan dan didasarkan pada besar sudut pusat yang terjadi. Sektor-sektor atau bagian-bagian atau juring-juring lingkaran besarnya disesuaikan dengan pengklasifikasian datanya. . Langkah-langkah membuat diagram lingkaran, yaitu:

• ubahlah nilai data ke dalam bnetuk persen untuk masing-masing bagian maksudnya menghitung besar persen maisng-masing bagian dari keseluruhan data
• menghitung besar sudut pusat untuk masing-masing bagian ( menentukan sudut masing-masing juring lingkaran yang mewakili masing-masing bagian)
• menggambar sebuah lingkaran dengan menggunakan jangka (ukuran lingkaran jangan terlalu besar atau terlalu kecil)
• memasukkan data ke dalam sektor-sektor (bagian) lingkaran sesuai hasil langkah kedua dimulai dari titik sudut yang terbesar
• menuliskan persen masing-masing bagian langkah pertama dan memberi warna yang berbeda, selanjutnya diberi identitas dan memberi nomor serta judul diagram

contoh:

a) langkah ke-1 mengubah data ke dalam persentase

    

b) langkah ke-2 menghitung besar sudut pusat masing-masing bagian

c) langkah ke-3 menggambar lingkaran

d) langkah ke-4 memasukkan hasil perhitungan sudut dimuali dari titik sudut yang berbeda

e) langkah ke-5 menuliskan persentase masing-masing sektor serta atribut lainnya

4. Diagram Gambar (piktogram)

    diagram gambar atau diagram lambang atau piktogram merupakan suatu bentuk diagram yang penyajian datanya menggunakan lambang-lambang. Dimana setiap lambangnya mewakili benda yang banyaknya tertentu sesuai dengan objeknya. Misalnya data tentang banyaknya penduduk di beberapa negera maju di dunia, dtaa tentang produksi buku dan lain sebagainya. Gambar yang digunakan sesuai dengan objek atau subjek yang disajikan dalam diagram tersbeut. Langkah-langkah menyajikannya , yaitu:

• buatlah tiga buah kolom: kolom pertama mencantumkan nama-nama kategori, kolom kedua berisi gambar-gambar yang digunakan sesuai dengan jenis datanya, dan kolom ketiga berisi bilangan yang menyatakan frekuensinya
• buatlah catatan di bawah diagram mengenai perwakilan gambar yang digambarkan maksudnya satu gambar mewakili objek yang banyaknya tertentu
• tuliskan nama kategori pertama, kedua dan sebagainya pada kolom pertama dan buatlah gambar pada kolom gambar atau lambang untuk masing-masing kategori tersebut, selanjutnya tuliskan banyak masing-masing datanya pada kolom frekuensi. Banyaknya gambar yang dibuat tidak sama dengan banyaknya data yang ada, tetapi apabila bilangan yang menyatakan banyaknya gambar dikalikan dengan bilangan yang mewakili satu lambang tersebut hasilnya sama dengan bilangan yang merupakan frekuensinya. Dengan demikian, ada gambar atau lambang yang digambarkan secara utuh
• langkah berikutnya memberi nomor dan judul diagram yang diletakkan di atas gambar diagramnya dan di bawah diagram diberi keterangan tentang catatan serta sumber data yang menyatakan data tersebut diperoleh

contoh:

Misalnya banyakanya penduduk di beberap benua di dunia

Afrika        : 400 juta jiwa

Amerika    : 500 juta jiwa

Asia           : 1200 juta jiwa

Eropa        : 600 juta jiwa

penyelesaiannya

• langkah ke-1 buat kolom tabel sesuai dengan yang dibutuhkan
  
  
  
• langkah ke-2 membuat catatan atau keterangan mengenai perwakilan lambang yang digunakan

  

  
  
• langkah ke-3 memasukkan atau mengisi kolom pertama sampai seterusnya sesuai dengan data yang ada, hingga memberikan keterangan sumber data

Latihan

Kerjakan soal di bawah ini berdasarkan persepsi belajar yang sudah Anda dapatkn dari hasil membaca materi

1. Menurut Statistika PBB tahun 1986 lima negara terbanyak penduduknya dalam juta sebagai berikut

a) Sajikan dalam diagram batang

b) Negara mana yang memiliki jumlah penduduk terbanyak ?

c) Negara mana yang memilki jumlah penduduk paling sedikit?

d) Berada diurutan keberapa negara India dilihat dari jumlah penduduknya?

2. Ali, Amir, Anang, dan Ahmad membuat layang-layang untuk dijual. Pada suatu ketika masing-masing telah menyelesaikan berturut-turut 30, 40, 20, 60 layang-layang. Sajikan data dalam bentuk piktogram

3. Diketahui total penjualan pupuk selama 6 bulan di KUD Madang.

a) Sajikan dalam diagram garis

b) Bulan keberapakah terjadi penjualan pupuk tertinggi?

c) Bulan apa terjadi penjualan pupuk terendah?

4. Hasil penjualah barang-barang sembako disebuah toko selama sepekan dinyatakan dalam persen, seperti berikut: beras 45%, gula 25%, garam 10%, dan minyak goreng 20%. Sajikan data dalam diagram lingkaran

dikumpulkan paling lambat Minggu, 21 Mei 2023 pukul 10.00 WIB

format pengumpulan seperti biasa harus .pdf

KELAS01

KELAS02

KELAS03

KELAS04