Pengertian Logika Matematika
Logika Matematika adalah ilmu formal yang mempelajari prinsip-prinsip dasar dari pemikiran dan alasan yang benar dalam bidang matematika. Tujuan dari logika matematika adalah memastikan bahwa argumen matematika yang dibuat benar secara formal dan logis.
Pernyataan
Setiap kumpulan kata yang berarti yang disusun menurut aturan tata bahasa disebut sebagai kalimat. kalimat yang menyatakan konsep matematika atau pernyataan yang dapat diuji kebenarannya menggunakan prinsip-prinsip logika matematika. Logika matematika biasanya terdiri dari simbol-simbol matematika, variabel, dan operator matematika. Kalimat yang digunakan dalam logika matematika adalah kalimat-kalimat yang menerangkan. Contoh kalimat yang menerangkan antara lain :
1. Semarang ibukota Jawa Tengah (bernilai benar atau B)
2. 9 adalah bilangan komposit (bernilai benar atau B)
3. 7 kurang dari 4 (bernilai salah atau S)
dalam matematika tidak akan dibahas kalimat seperti contoh
1. Apakah Ranum berada di rumahmu? (kalimat tanya)
2. Buka buku itu ! (kalimat perintah / seru)
3. Mudah-mudahan lekas sembuh (kalimat harapan)
Kalimat yang mempunyai nilai kebenaran, yaitu nilai benar atau nilai salah dan bukan keduanya disebut pernyataan.
Perbedaan antara pernyataan dengan proposisi . Proposisi hanya berlaku pada kalimat yang bermakna dimana kalimat tersebut bisa menyatakan nilai benar saja atau nilai salah saja. Sehingga, suatu proposisi adalah pernyataan sedangkan pernyataan belum tentu proposisi.
Pernyataan
majemuk
Pernyataan-pernyataan sederhana yang dirangkai
dengan menggunakan kata perangkai (penghubung)
"atau" dengan simbol "∨"
“dan” dengan simbol “∧"
“ jika … maka … “ dengan simbol "⟹"
“jika dan hanya jika” dengan simbol "⟺"
sedangkan untuk simbol negasi atau sangkalan dari suatu pernyataan diberi simbol "~ " yang di letakkan di depan pernyataan-pernyataan yang telah diberi simbol dengan huruf kecil: a,b,c, .... Sehingga, pernyataan yang tadinya Benar menjadi Salah dan sebaliknya.
Tautologi adalah proposisi majemuk yang benar dalam segala hal tanpa mempertimbangkan nilai kebenaran komponen-komponennya.
Contoh:
p ∨ ~( p ∧ q )
Kontradiksi adalah proposisi majemuk yang salah dalam segala hal tanpa mempertimbnagkan nilai kebenaran komponen-komponennya
Contoh:
~( p ∧ q ) ∧ ~( p ∨ q )
______________________________________________________________________________________________________________________
Negasi (Sangkalan/ Ingkaran)
Jika "a" menyatakan " Sita suka nasi goreng", maka negasi a atau ~a, menjadi "Tidak benar Sita suka nasi goreng" atau dengan bahasa sehari-hari "Sita tidak suka nasi goreng".
Ingat : ~ (p < q ) adalah p ≥ q
dan ~ (p > q ) adalah p ≤ q
"Ada" ingkarannya "Beberapa"
Konjungsi ("dan" "∧")
Konjungsi dua pernyataan "p dan q" ditulis " p ⋀ q" atau "p & q". Nilai kebenaran dari konjungsi dinyatakan dengan tabel nilai kebenaran di bawah ini.
Konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai Benar, dan tidak perlu memperhatikan ada tidaknya hubungan pernyataan-pernyataan tunggalnya.
Contoh :
Sisi cantik dan Sisi pandai, disingkat menjadi Sisi cantik dan pandai
Disjungsi ("atau" "∨")
Disjungsi dua pernyataan ditulis "p atau q" ditulis "p ∨ q" . nilai kebenaran dari disjungsi dinyatakan dalam tabel nilai kebenaran berikut
Dapat dikatakan bahwa disjungsi dari dua pernyataan bernilai Benar, jika salah satu pernyataan bernilai Benar.
Contoh:
7 adalah bilangan prima dan 7 lebih besar dari 8, adalah disjungsi yang bernilai Benar
p implikasi q ditulis " p⟹q " dibaca " jika p maka q". p disebut sebagai pendahulu (anteseden) dan b disebut pengikut (consequent). Nama lain p disebut hipotesis dan q disebut konklusi (kesimpulan). Tabel nilai kebenarannya dapat dilihat seperti berikut.
Implikasi bernilai Salah hanya jika pernyataan anteseden bernilai Benar dan pernyataan consequent bernilai Salah.
contoh:
Ari lulus ujian, maka ayah membelikan jam tangan (suatu janji)
Apabila bel berdering tiga kali, maka pertanda sekolah telah usai (suatu tanda)
Jika Rumi terlambat makan, maka akan terkena sakit mag (sebab akibat)
Apabila dua segitiga siku-siku sama kaki, maka dua segitiga itu sebangun (pengikut diturunkan dari pendahulunya)
Hal yang perlu diperhatikan, ialah:
- Implikasi selalu bernilai Benar, apabila pernyataan pendahulunya bernilai Salah, tanpa memperhatikan nilai kebenaran pernyataan pengikutnya
- Implikasi selalu bernilai Benar, jika pernyataan pengikutnya bernilai Benar, tanpa memperhatikan kebenaran pernyataan pendahulunya
dapat dikatakan apabila p ⇒ q, bernilai Benar, maka:
- p disebut syarat cukup bagi q, atau
- q disebut syarat perlu bagi p
Rumus dalam Implikasi
Apabila diketahui p ⇒ q , maka
q ⇒ p disebut konvers dari p ⇒ q
~p ⇒ ~q disebut invers dari p ⇒ q
~q ⇒ ~p disebut kontraposisi dari p ⇒ q
dengan tabel nilai kebenaran sebagai berikut.
Biimplikasi atau Bikondisional (" ...jika dan hanya jika ..." "⇔")
biimplikasi dari p dan q (disimbolkan dengan p ⇔ q) bernilai Benar jika kedua pernyataannya mempunyai nilai kebenaran yang sama dan bernilai Salah apabila kedua pernyataannya memiliki nilai kebenaran yang berbeda. berikut tabel nilai kebenarannya.
Kuis 1 (berbatas sampai pertemuan Jum'at , 3 Maret 2023 pukul 23.59 WIB)
1. Tentukan negasi dari pernyataan di bawah ini:
a. Ada kendaraan beroda 8
b. Tidak ada orang yang mempunyai 3 tangan
2. Tentukan nilai kebenarannya dari setiap pernyataan berikut.
a. Jika 4 < 6 maka -4 > -6
b. Tidak benar bahwa 3 +2 = 5 atau 4 x 2 = 6
3. Tentukan tabel nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut.
a. (p ∨ q) ∨ r
b. p ∨ r ⇔ r & ~t
4. Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari implikasi berikut.
a. ~p ⇒ q
b. p ⇒ q & r
5. Misalkan "a" menyatakan "Vina adalah gadis cantik" dan "b" menyatakan "Vina
berambut ikal". Tuliskan setiap pernyataan dibawha ini dengan simbol-simbol a
dan b.
a. Tidak benar bahwa Vina gadis cantik atau berambut ikal
b. Vina bukan gadis cantik dan berambut ikal
- Selamat Mengerjakan-
Link Pengumpulan:
Format File : KELAS_NAMA_NPM.pdf (hasil pekerjaan di folio bergaris kemudian discan)
