Bagaimana Matematika Seharusnya: Himpunan

Himpunan adalah suatu kumpulan dari objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. Objek-objek dari himpunan didefinisikan dengan jelas, dimaksudkan suatu objek yang dapat ditentukan dengan pasti termasuk dalam himpunan tersebut atau tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Objek yang termasuk dalam himpunan itu disebut anggota (elemen) dari himpunan itu.

Contoh:

himpunan wanita cantik (himpunan ini tidak jelas karena kriteria wanita cantik tidak jelas)

himpunan kewan berkaki empat (sapi, kambing, kucing)

Kata-kata lain seperti gugus, kumpulan, kelas, koleksi, keluarga merupakan sinonim dari kata himpunan.

Himpunan disimbolkan dengan huruf kapital A, B, C, ... dan elemen-elemen disimbolkan huruf alfabet kecil a, b, c, ... Notasi " a ⋲ A " dibaca "a ialah elemen atau anggota dari A", dan "d ∉ B" dibaca " d bukan anggota/elemen dari B"

A. Notasi Himpunan

suatu himpunan dapat dinyatakan dengan dua cara, yaitu a) dengan cara daftar (tabulasi) atau b) dengan notasi pembentuk himpunan.

Cara pertama, dengan cara daftar (tabulasi), yaitu mendaftar atau menuliskan anggota-anggotanya diantara kurung kurawal buka dan kurung kurawal tutup, dan setiap dua anggota berturutan dipisahkan dengan tanda koma ( , ).

contoh:

1. P = {2,3,5,7} adalah himpunan empat bilangan prima pertama, atau himpunan bilangan prima satu angka. Dalam mendaftar anggota-anggota, urutannya urutan anggota-anggota tidak perlu diperhatikan, sehingga himpunan tersebut dapat pula dinyatakan sebagai {3,5,2,7}, {7,3,5,2}, {5,2,7,3}, {5,7,3,2} dan sebagainya

2. Suatu himpunan dapat hanya mempunyai satu anggota dan biasa disebut singleton. Misalnya D = {April}, yaitu himpunan semua nama bulan yang diawali dengan huruf A. E = {10}, ialah himpunan yang anggotanya hanya satu bilangan, yaitu 10

3. Suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota, yang biasanya disebut himpunan kosong dan diberi simbol { } atau ∅ . Misalnya, himpunan bilangan asli yang kuadratnya sama dengan 5, himpunan lembu berkaki seribu. Ingat bahwa {∅} dan {0} masing-masing bukan himpunan kosong, tetapi himpunan-himpunan itu masing-maisng mempunyai satu anggota.

4. Suatu himpunan mempunyai banyak anggota, maka kita dapat menuliskan tiga atau empat anggota dan diikuti dengan tiga titik. Tiga atau empat anggota yang dituliskan tersebut harus dapat memberi petunjuk untuk menentukan anggota-anggota berikutnya. Misalnya, C={0,1,2,3,...} adalah himpunan semua bilangan cacah. A = {1,2,3,...} adalah himpunan semua bilangan Asli.

Cara kedua, menyatakan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan, yaitu dengan menuliskan satu huruf sembarang sebagai peubah anggota dan syarat keanggotannya serta tanda garis tegak ( | )diantara peubah dan syarat keanggotannya, yang semua tulisan itu berada diantara kurung kurawal buka dan kurung kurawal tutup. Syarat keanggotannya ini harus didefinisikan dengan jelas, artinya sesuatu objek harus dapat ditentukan dengan pasti, sebagai anggota himpunan itu atau tidak.

contoh:

1. A={x | x bilangan asli} dibaca "himpunan semua x sedemikian hingga x bilangan asli. Tanda " | " dibaca "sedemikian hingga". Atau dapat pula dituliskan sebagai A={bilangan asli}

misal, D = {x | x < 101 dan x bilangan Asli} atau D = {bilangan asli kurang dari 101}

B. Hubungan Dua Himpunan

Tiap dua himpunan mempunyai hubungan, diantara: 1) himpunan yang satu merupakan himpunan bagian dari yang lain, 2) dua himpunan sama, 3) dua himpunan saling asing (saling lepas), 4) dua himpunan berpotongan, atau 5) dua himpunan ekuivalen

1. Himpunan Bagian (Subset)

Misalkan A = {1, 5} dan B = {0,1,2,3,4,5}. Perhatikan bahwa 1 dan 5 masing-masing merupakan anggota dari himpunan A dan juga merupakan anggota dari himpunan B.

Definisi 3.1.

Himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan B (ditulis A ⊂B), jika setiap anggota A merupakan anggota B

atau dapat ditulis sebagai

A ⊂B jika dan hanya jika ∀x, x ⋲ A ⇒ x ⋲ B

contoh:

1) Misalkan D = {a, i, u, e, o}, yaitu himpunan semua vokal dalam abjad Latin dan E = {a,b,c,.., z}, yaitu himpunan semua abjad Latin. maka D ⊂ E, dan jika F adalah himpunan semua konsonan dalam abjad Latin, maka F ⊂E

2) Semua himpunan bagian dari {a,b,c} adalah {}, {a}, {b}, {c}. {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}. Jadi banyaknya himpunan bagian dari {a,b,c} adalah 8. Berapa banyaka himpunan bagian dari {a,b,c,d} ?

Petunjuk:

Himpunan dari semua himpunan bagian dari A disebut himpunan kuasa dari A (power set of A) yang disimbolkan dengan 2 pangkat A. Jadi,

Banyaknya anggota himpunan A diberi simbol n (A), banyaknya anggota himpunan 2 pangkat A diberi simbol n (2 pangkat A)

Dalam suatu pembicaraan atau pembahasan, terkadang kita harus membatasi diri, agar pembicaraan atau pembatasannya fokus pada permasalahan yang dibahas. Dalam himpunan, kita perlu menetapkan suatu himpunan yang anggota-anggota atau himpunan bagian bagiannya merupakan sumber pembahasan. Himpunan seperti ini disebut Himpunan Semesta atau Semesta pembicaraan (Universal Set), yang biasa diberi lambang S atau U dipojok kiri atas pada diagram Venn-Euler atau disebut dengan diagram Venn. Himpunan semesta biasanya digambarkan sebagai persegi panjang dan himpunan bagian-himpunan bagiannya digambarkan sebagai kurva-kurva tertutup sederhana.

contoh:

Jika S = { 1,2,3, ..., 10} sebagai himpunan Semestanya, A= { 1,3,5,7,9} dan B = {3,5,7}, maka diagram Venn dari himpunan - himpunan ini seperti berikut.

2. Dua Himpunan Sama

Dua himpunan A dan B dikatakan sama ditulis (A=B) jika setiap anggota A merupakan anggota B, dan setiap anggota B merupakan anggota A pula. atau dapat ditulis.

A = B jika dan hanya jika ∀x, x ⋲ A ⇒ x ⋲ B) & (∀x, x ⋲ B ⇒ x ⋲ A)

atau

A = B jika dan hanya jika A ⊂B & B ⊂A

Definisi 3.2

Himpunan-himpunan A dan B dikatakan sama (ditulis A = B) jika A merupakan himpunan bagian dari B dan B merupakan himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, dikatakan A tidak sama dengan B (ditulis A ≠ B)

contoh:

1) Jika A = {1,2,3,4} dan B = {4,2,3,1}, maka A = B

2) JIka A = {x | x bilangan asli} dan B = { y | y bilangan bulat positif}, maka A = B

3. Dua Himpunan Ekuivalen

Dua himpunan berhingga A dan B dengan n (A) = n(B), yaitu banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B, maka dikatakan bahwa himpunan A ekuivalen dengan himpunan B (ditulis A ∼ B)

contoh:

A={1,3,5,7} dan B ={a,b,c,d} adalah dua himpunan yang ekuivalen, yaitu A ∼ B.

Perhatikan bahwa ketentuan tersebut hanya dikhususkan untuk himpunan-himpunan yang berhingga saja. Untuk himpunan-himpunan yang takhingga yang ekuivalen didefinisikan dengan menggunakan pengertian korespondensi satu-satu contoh pada materi "Fungsi (Pemetaan)"

4. Dua Himpunan Lepas (Saling Asing)

Dua himpunan yang tidak kosong A dan B dikatakan saling asing atau lepas (ditulis A // B) dan dibaca A lepas dengan B, jika dua himpunan itu tidak mempunyai anggota persekutuan atau setiap anggota A bukan anggota B dan setiap anggota B bukan anggota A.

contoh:

1) Jika A = {1,2,3,4,5} dan B = {7,8,9,10}, maka A // B

2) jika P = {ke,t,a,n} dan Q = {b,a,l,o,n}, maka P // Q

C. Operasi-operasi pada Himpunan

Apabila diketahui dua himpunan atau lebih, kita dapat membentuk himpunan baru dengan mengoperasikan himpunan-himpunan yang diketahui tersebut. Operasi-operasi pada himpunan seperti Irisan ( ∩ ), gabungan ( ∪ ), komplemen ( ... pangkat c, ... ')

1. Irisan ( ∩ )

Definisi 3.3.

Irisan dari himpunan A dan himpunan B ditulis ( A ∩ B dibaca A irisan B) adalah himpunan semua anggota persekutuan himpunan A dan himpunan B, atau dengan kata lain, himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua anggota himpunan A yang sekaligus sebagai anggota B. atau dapat ditulis sebagai.

Diagram Venn dari A ∩ B digambarkan seperti di bawah ini, yaitu daerah yang diarsir

contoh:

1) Jika A= {1,2,3,4,5} dan B = {1,3,5,7,9}, maka A ∩ B ={1,3,5}

2) jika P = {r,o,t,i,} dan Q = {m,a,u}, maka P ∩ Q = {} atau ∅

Memperhatikan definisi di atas dan sifat komutatif dari konjungsi, maka dapat disimpulkan bahwa

A ∩ B = B ∩ A. Dengan kata lain, operasi irisan pada himpunan-himpunan bersifat komutatif. Secara formal sifat komutatif irisan pada himpunan ini dapat ditunjukkan sebagai berikut.

A ∩ B = { x | x ⋲ A & x ⋲ B }

={ x | x ⋲ B & x ⋲ A } sifat komutatif konjungsi

= B ∩ A

Memperhatikan definisi irisan tersebut dan mengingat sifat asosiatif konjungsi, maka dapat disimpulkan bahwa operasi irisan pada himpunan juga bersifat asosiatif, yaitu

A ∩ ( B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C

memperhatikan definisi irisan pada himpunan itu pula, kita dapat menarik kesimpulan bahwa A ∩ B termuat baik dalam A maupun B, yaitu:

( A ∩ B ) ⊂ A dan ( A ∩ B ) ⊂ B

2. Gabungan ( ∪ )

Definisi 3.4

Gabungan dari himpunan A dan himpunan B (ditulis A ∪ B dan dibaca A gabungan B) adalah himpunan dari semua anggota himpunan A atau B. Atau dapat ditulis sebagai berikut.

Diagram Venn dari A ∪ B digambar dibawah ini, yaitu daerah yang diarsir

contoh:

1) Jika A = {1,2,3,4,5,6} dan B = {2,4,6,8,10} maka A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

2) jika P = {a,n,g,l,o,s} dan Q = {l,o,g,a,s}, maka P ∪ Q = {a,n,g,l,o,s} = P

Dari definisi gabungan dua himpunan tersebut dan mengingat sifat komutatif disjungsi, maka dimpulkan bahwa operasi gabungan pada himpunan-himpunan bersifat komutatif, yaitu:

A ∪ B = B ∪ A

demikian pula, dengan memperhatikan definisi gabungan tersebut dan mengingat sifat asosiatif disjungsi, maka dapat disimpulkan bahwa operasi gabungan pada himpunan-himpunan juga bersifat asosiatif yang ditunjukkan sebagai berikut.

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) sifat asosiatif gabungan himpunan

dari definisi gabungan itu pula dapat diismpulkan bahwa baik himpunan A maupun himpunan B masing-masing termuat dalam A ∪ B , yaitu:

A ⊂ (A ∪ B) dan B ⊂ (A ∪ B)

Teorema 3.1. (sifat distributif)

1. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

2. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

3. Komplemen suatu himpunan

Misalkan S adalah suatu himpunan semesta, maka komplemen dari himpunan A (ditulis dengan A' dibaca A komplemen) adalah himpunan dari semua anggota himpunan semesta S yang bukan anggota himpunan A. Atau dapat ditulis sebagai berikut.

jika digambarkan dalam diagram Venn seperti berikut.

contoh:

1) Misalkan S {1,2,3, ... 10} sebagai himpunan semesta. Jika A={1,2,3,4,5} maka A'={6,7,8,9}

2) MIsalkan S = {a,b,c,d,e,f,g,h} sebagai himpunan semesta. Jika A ={b,a,d,e} dan B ={e,c,a}, akan ditunjukkan bahwa (A ∩ B)' = A' ∪ B'

A ∩ B = {a,e} , (A ∩ B)'={b,d,c}

A' = {c}, B' = {b,d}

A' ∪ B' = {b,d,c}

Tampak disini (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Teorema 3.2. (De Morgan)

1) (A ∩ B)' = A' ∪ B'

2) (A ∪ B)' = A' ∩ B'

Latihan Soal

Kerjakan soal di bawah ini, setelah membaca materi di atas!

1. Himpunan-himpunan berikut ini, manakah yang objek-objeknya didefinisikan dengan jelas?

a. Himpunan sepuluh penyanyi tercantik

b. Himpunan nama bulan yang dimulai dengan huruf D

c. Himpunan delapan rumah besar

d. Himpunan lima aktor yang paling cerdas

e. Himpunan semua mahasiswa yang pandai

2. Misalkan D adalah himpunan semua segiempat pada bidang datar. Berikut ini manakah yang merupakan anggota dari D?

a. bidang empat

b. limas

c. jajar genjang

d. persegi

e. trapesium

f. persegi panjang

g. layang-layang

h. lingkaran

i. belah ketupat

3. Apabila A={x | x bilangan asli}, Z = {x | x bilangan bulat} dan Q = {x | x bilangan rasional}, tuliskan himpunan-himpunan berikut ini dengan cara daftar

a. T = { x ∊ Z | x terbagi oleh 13}

b. E = {y | y = 2n - 1, n ∊ A }

4. Tuliskan himpunan berikut ini dengan notasi pembentuk himpunan !

a. Z = { 1, 3, 6, 10, ...}

b. T = { 0, 4, 8, 12, ...}

5. Diketahui A = { a,b,c,d,e,f} tuliskan anggota himpunan bagiannya!

6. Misalkan S ={p,a,r,e,h,i,y,u,n,g,o,k} sebagai himpunan semesta, P = {p,a,r,n,o} dan T = {k,a,r,u,n,g} dan M = {p,i,r,a,n,g}. Tentukan:

a. P ∩ T

b. P ∩ M

c. P ∩ (T ∪ M)

d. T ∪ M

e. P' ∪ M'