Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai hal-hal yang saling brhubungan, misalnya tentang luas tanah seseorang dibandingkan dengan luas tanah orang lain. Kemudian, terkait dengan umur seseorang berapa kalinya umur orang lain, kita dapat menggunakan relasi sama dan membuat peubah. Hal tersbeut merupakan mnegubah apa yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari ke dalam model matematika yang dinamakan persamaan. Akan dibahas di bawa terkait dengan persamaan liner dengan satu peubah, dua peubah, dan soal-soal cerita beserta penyelesaiannya.
A. Persamaan Linier
1. Kalimat Terbuka
Kalimat yang memuat variabel bebas disebut kalimat terbuka
contoh:
x adalah bilangan ganjil
y lebih besar dari 15
Pada contoh di atas variabel bebasnya yaitu x, dan y. Apabila variabel tersebut diganti secara berkala maka akan diperoleh suatu proposisi. Misalkan x pada contoh a, diganti dengan bilangan 3 kalimatnya menjadi 3 adalah bilangan ganjil (proposisinya Benar) dan jika diganti bilangan 2, kalimatnya menjadi 2 adalah bilangan ganjil (proposisinya Salah). Pemberian nama untuk variabel diberikan menggunakan huruf kecil, tidak selalu disimbolkan dengan huruf x dan y. Sedangkan pengganti-pengganti variabel yang membuat kalimat-kalimat tersebut menjadi proposisi disebut konstanta. Konstanta-konstanta yang emmbuat kalimat terbuka menjadi proposisi benar disebut penyelesaian atau jawaban.
2. Kesamaan
suatu proposisi benar yang memuat tanda "sama" disebut kesamaan
contoh:
2 x 5 = 10 x 1
14 = 2 x 7
Bagian yang dipisahkan dengan tanda "=" disebut ruas, disebelah kiri tanda "=" disebut ruas kiri sedangkan yang berada di kanan disebut ruas kanan.
Sifat-sifat Kesamaan
a. Sifat Aditif
Jika a= b maka a + c = b + c adalah benar, dengan a,b, dan c ∊ R
contoh :
Jika 3 + 5 = 8 , maka (3 + 5) + 4 = 8 + 4, bernilai Benar
b. Sifat Multikatif
Jika a = b, maka a x c = b x c adalah Benar, dengan a,b, dan c ∊ R
contoh :
Jika 3 + 5 = 8, maka (3 + 5) x 3 = 8 x 3
3. Persamaan
Suatu kalimat terbuka yang memuat tanda "sama" disbeut persamaan
Contoh:
2x = 14
3y = y²
4n + 7 = 2n + 11
Menyelesaikan suatu persamaan merupakan suatu proses mencari suatu bilangan (konstanta) yang membuat suatu persamaan menjadi proposisi Benar, konstantda tersebut dinamakan pneyelsaian atau akar dari persamaannya. Himpunan semua penyelesaian suatu persamaan disebut Himpunan Penyelesaian (HP).
contoh:
2x = 14 , HP = {7}
2x + 5 = 9, HP = {2}
x + y = 5, x dan y bilangan Asli, HP = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}
x² + 8x + 12 = 0 , HP = { -6,-2}
Dua persamaan mempunyai Himpunan Penyelesaian yang sama disebut persamaan-persamaan yang
ekuivalen
4. Persamaan Linier dengan Satu Variabel (Peubah) (SPLSV)
Bentuk Umum (BU) dari persamaan linier satu variabel yaitu ax + b = 0, dengan a ≠ 0.
Merupakan persamaan yang paling sederhana dan ekuivalen dengan persamaan semula.
Langkah-langkahnya: suku-suku yang memuat variabel yang sama pada satu ruas kiri dan konstanta-
konstanta (bilangan tetap) diusahakan ada di ruas kanan.
contoh:
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari 2 (x - 1) + 4 (x + 2) = 5x + 2
Jawab:
2 (x - 1) + 4 (x + 2) = 5x + 2
2x - 2 + 4x + 8 = 5x + 2
2x + 4x - 5x = 2 + 2 - 8
x = -4
Jadi, HP ={-4}
5. Persamaan Linier dengan Dua Variabel (SPLDV)
Jika akan menentukan dua konstanta sebagi pengganti dua variabel yang belum diketahui, maka diperlukan dua persamaan yang diketahui. Biasanya, soal cerita memuat dua hal yang belum diketahui dan akan dicari penyelesaiannya dengan menggunakan persamaan, dua hal yang belum diketahui dinyatakan dengan dengan dua variabel (peubah).
contoh:
Dua bilangan cacah jumlahnya 5, bilangan-bilangan berapakah itu?
Jawab:
misalnya: bilangan yang ke-1 adalah x,
bilangan ke-2 adalah y
x + y = 5, x dan y bilangan Cacah
untuk x = 0 → 0 + y - 5 = 0
y = 5
untuk x = 1 → 1 + y - 5 = 0
y = 4
untuk x = 2 → 2 + y - 5 = 0
y = 3
untuk x = 3 → 3 + y - 5 = 0
y = 2
untuk x = 4 → 4 + y - 5 = 0
y = 1
untuk x = 5 → 5 + y - 5 = 0
y = 0
Jadi, HP = {(0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0)}
6. Cara-cara Menyelesaikan Persamaan
a. Eliminasi dengan Substitusi
Jika dari dua persamaan akan dicari penyelesaiannya, maka salah satu variabel dari persamaan pertama dinyatakan ke dalam variabel yang lainnya. Selanjutnya substitusikan ke dalam persamaan yang kedua tadi, dengan demikian nilai dari satu variabel yang sudah ditemukan tadi dimasukkan pada persamaan yang akhirnya variabel yang lain dapat juga ditentukan nilainya.
contoh:
Tentukan penyelesaian dari pasangan persamaan 5m + 4n = 13 dan 3m + 2n = 7 , dengan m dan n bilangan Rasional
Jawab:
b. Eliminasi dengan Penjumlahan atau pengurangan
Jika dari dua persamaan akan dicari penyelesaiannya maka nilai mutlak koefisen dari veariabel yang akan dieliminasi (dihilangkan) disamakan dulu. Selanjutnya, kedua persamaan tersebut dijumlahkan atau dikurangkan supaya menghasilkan persamaan baru yang hanya memuat satu variabel.
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari pasangan persamaan 5m + 4n = 13 dan 3m + 2n = 7, dengan m dan n
bilangan Rasional
Jawab:
c. Eliminasi dengan cara menyamakan (Gabungan)
Jika dari dua persamaan akan dicari penyelesaiannya, maka dari masing-masing persamaan, variabel yang akan dihilangkan dinyatakan dalam variabel lain.
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari pasangan persamaan 5m + 4n = 13 dan 3m + 2n = 7, dengan m dan n
bilangan Rasional
Jawab:
7. Contoh mengubah Kalimat-kalimat pada soal cerita ke dalam persamaan
a. Panjang sebuah persegi panjang, panjangnya 4m lebih dari lebar. Luas persegi panjang itu 12 m². Hitunglah panjang dan lepar persegi panajg itu. Cara menentukan persamaannya sebagai berikut.
Misalkan:
panjang dari persegi panjang = am
lebar dari persegi panjang = bm
Panjangnya 4m lebihnya dari lebar, persamannya menjadi
a - 4 = b atau a = b + 4
Luas persegi panjang = panjang x lebar (dalam hal ini luas a x b )
12 = a x b
12 = (b + 4) x b
b. Aida pergi ke toko membeli gula dan beras, harga 1 kg gula 2 kali harga 1 kg beras. Aida membeli 4 kg beras dan 6 kg gula harganya Rp. 24.000,00. Berapa masing-masing harga gula dan beras setiap kg ?
Cara menentukan persamaannya sebagai berikut:
Misalkan:
harga 1 kg beras = x rupiah
harga gula 2 kali harga 1 kg beras berarti harga 1 kg gula = 2x rupiah
4 kg beras dan 6 kg gula harganya Rp. 24.000,00
Persamaannya menjadi 4 (x) + 6 (2x) = 24.000 atau 4x + 12x = 24.000
Soal Latihan
Kerjakan soal di bawah ini di kertas folio bergaris, kemudian scan dan kumpulkan di link sesuai dengan kelas masing-masing!
- Robi merencanakan membuat kandang ayam. Jika lebarnya 2,4 m, maka lebar kandang tersebut 0,6m lebih dari panjang kandang. Berapakah panjang kandang itu?
- Dani mempunyai uang logam sebanyak 129 mata uang dan terdiri dari uang Rp. 500,00 serta uang logam Rp. 100,00. Uang tersebut semuanya bernilai Rp. 24.500,00. Berapa uang logam Rp. 500,00 yang dimiliki Dani?
- Jika 3m - n = 22 dan 2m + 3n = -11, maka Berapa nilai m dan n ?
- Jika nilai p dan q merupakan penyelesaian dari sistem persamaan 3x + y = 7 dan 2x - 5y = 16, maka, Berapa nilai dari 4p + q ?
- Harga 2 kg salak dan 3 kg jeruk adalah Rp. 53.500,00. Sedangkan harga 3 kg salak dan 2 kg jeruk adalah Rp. 49.000,00. Berapa harga 1 kg salak dan 5 kg jeruk ?
- Buatkan 3 (tiga) soal matematika dengan materi persamaan linier yang menggunakan contoh konkret kehidupan sehari-hari!
-selamat mengerjakan-
Link pengumpulan , Kamis, 21 Maret 2024, pukul 23.59 WIB
format FILENAMA: NAMA_NPM.pdf (harus pdf), tidak perlu membuat folder nama
Tidak ada komentar:
Posting Komentar