Bagaimana Matematika Seharusnya: Persamaan Kuadrat

1. Persamaan Kuadrat dengan Satu Variabel

Bentuk Umum (BU) dari persamaan kuadrat dengan satu variabel adalah ax² + bx + c = 0, dengan syarat, a, b, c bilangan Real dengan a ≠ 0

contoh :

x² + 5x + 5 = 0

2x² + 9x + 5 = 0

x² -16 = 0

Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat sama artinya dengan menentukan semua bilangan pengganti variabel pada persamaan kudrat tersebut. Sejingga menjadi proposisi yang benar. Bilangan-bilangan yang memenuhi persamaan tersbeut dinamakan penyelesaian atau akar persamaan

Cara-cara menyelesaikan persamaan kuadrat:

a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara faktorisasi

Kita ingat kembali hasil kali istimewa di bawah ini, yaitu:

1) a (b + c) = ab + ac atau ab + ac = a + (b + c)

2) (a + b) (a + c) = a² + (b + c)a + bc atau a² + (b + c)a + bc = (a + b) (a + c)

3) (a + b) (a - b) = a² - b² atau a² - b² = (a + b) (a - b)

4) (a + b)² = a² + 2ab + b² atau a² + 2ab + b² = (a + b)²

5) (a + b) (c + d) = ac + bc + ad + bd

Kita ingat juga bahwa jika p dan q bilangan Real dan pq = 0, maka p = 0 atau q = 0. Selanjutnya untuk menentukan faktorisasi dari persamaan tersebut ruas kanan dijadikan nol lebih dahulu

contoh:

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari x² + 7x = -10

Jawab:

x² + 7x = -10

x² + 7x + 10 = -10 +10

x² + 7x +10 = 0

( x + 5) ( x + 2) = 0

x + 5 = 0 atau x + 2 = 0

x = -5 atau x = -2

Jadi, HP = {-5,-2}

b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat. Usahakan suku-suku yang memuat variabel hanya pada satu ruas dan suku-suku yang tidak memuat variabel pada ruas yang lain, kemudian melengkapinya untuk dijadikan bentuk kuadrat murni. Tambahkan kuadrat dari seperdua koefisien x pada kedua ruas persamaanya, sesudah koefisien dari x² dijadikan satu.

contoh:

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari x² -6x - 16 = 0

Jawab:

x² - 6x - 16 = 0

x² - 6x - 16 + 16 = 0 + 16

x² - 6x = 16

x² - 6x + 9 = 16 + 9

x² - 6x + 9 = 25

(x - 3)² = 25

(x - 3)² - 25 = 25 - 25

(x - 3)² - 25 = 0

[(x - 3) +5] [(x - 3) - 5] = 0

(Ingat dua bilangan Real hasil kalinya nol apabila salah satu nol atau keduanya nol)

[(x - 3) +5] = 0 atau [(x - 3) - 5] = 0

x - 3 + 5 = 0 atau x - 3 -5 = 0

x + 2 = 0 atau x - 8 = 0

x = -2 atau x = 8

Jadi, HP = {-2 , 8}

c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus

Penurunan rumusnya seperti berikut ini:

ax² + bx + c = 0, a, b, dan c bilangan Real dan a ≠ 0

ax² + bx + c - c = 0 - c

ax² + bx = - c

contoh:

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari x² - 2x - 8 = 0

Jawab:

dari persamaan tersebut nilai a = 1; b = -2; dan c = -8

2. Diskriminan (D)

Untuk berikutnya D disebut diskriminan dari persamaan kuadrat dengan Bentuk Umum ax² + bx + c = 0, dengan syarat, a, b, c bilangan Real dengan a ≠ 0, Diskriminan ditulis D = b² - 4ac

Perhatikan

a) Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai penyelesaian bilangan Real

b) Jika D = 0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai penyelesaian satu bilangan Real (dua bilangan Real yang sama)

c) Jika D > 0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai penyelesaian bilangan Real yang berbeda

contoh:

1) tentukan jenis akar dari persamaan dengan tanpa menyelesaikan persamaan terlebih dahulu (Selidikilah melalui nilai Diskriminannya)

Jawab:

x² - x - 12 = 0, persamaan kuadrat ini mempunyai nilai

a = 1, b = -1, dan c = -12

D = b² - 4ac

= (-1)² - 4. 1. (-12)

= 1 + 48

= 49

karena D = 49 atau D > 0, berarti persamaan kuadrat tersebut mempunyai penyelesaian dua bilangan Real yang berbeda atau akar-akar dua bilangan Real nya berbeda

2) Tentukan jenis akar dari x² + 25 = 10x, dengan tanpa menyelesaikan persamaan terlebih dahulu

Jawab:

x² + 25 = 10x

x² - 10x + 25 = 0

x² -10x +25 = 0, persamaan kuadrat ini mempunyai nilai a = 1, b = -10, dan c = 25

D = b² - 4ac

= (-10)²- 4. 1. 25

= 100 - 100

= 0

karena D = 0, berarti persamaan kuadrat tersebut mempunyai satu penyelesaian bilangan Real atau akar-akarnya hanya satu bilangan Real (dua bilangan Real yang sama)

3) Tentukan jenis akar dari x² - x + 4 = 0, dengan tanpa menyelesaikan persamaan terlebih dahulu

Jawab:

x² - x + 4 = 0, persamaan kuadrat ini mempunyai a = 1, b = -1, dan c = 4

D = b² - 4ac

= (-1)² - 4.1.4

= 1 - 16

= -15

karena D = -15 atau D < 0, berarti persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai penyelesaian bilangan Real.

3. Sifat-sifat akar

Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat dari ax² + bx + c = 0, dengan D > 0, maka

atau

sebagai akibar dari rumus tersebut, diperoleh:

Contoh:

Soal Latihan

Selesaikan pertanyaan di bawah ini dengan tepat!

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari 2x² - 9x - 5 = 0
Jika persamaan kuadrat (p + 1)x² - 2 (p + 3)x + 3p = 0, mempunyai dua akar yang sama, maka, Berapa nilai konstanta p?
Berapakah hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 2x² - 4x + 6 = 0 ?
x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat 3x² - x - 5 = 0. Bagaimana persamaan kuadrat baru yang akar-akarnmya 3x1 + 1 dan 3x2 + 1
Tentukan jenis akar dari x² + x - 3 = 0, tanpa menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu