suatu pertidaksamaan dengan peubah x dapat disajikan dalam bentuk ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0, atau ax + b > 0, dinamakan pertidaksamaan linier dalam x
1. Menyelesaikan Pertidaksamaan Linier
Langkah-langkah dalam menyelesaikan pertidaksamaan linier, yaitu:
- semua suku yang memuat variabel dikumpulkan pada salah satu ruas, dan semua suku yang lain dikumpulkan pada ruas yang satu lagi, dengan menggunakan sifat aditif pertidaksamaan
- dicari pertidaksamaan yang paling sederhana yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula
contoh :
Selesaikanlah 3x - 8 > 2x - 1 dengan peubah pada {0, 1, 2, ..., 9, 10}
Jawab:
3x - 8 > 2x - 1
3x - 2x > -1 + 8
x > 7
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya { 8, 9, 10}
Himpunan penyelesaian tersebut dapat disajikan atau ditunjukkan menggunakan grafik seperti di bawah ini, dimana 3 buah titik pada garis bilangan yang berpasangan dengan bilangan 8, 9 , 10.
Selesaikanlah x - 4 ≥ 0, dengan x adalah bilangan real
jawab:
x - 4 ≥ 0
x ≥ 4
Jadi, Himppunan Penyelesaiannya adalah { x | x ≥ 4, x ∊ R}
jika ditunjukkan menggunakan grafik sebagai berikut.
catatan :
untuk menggambarkan grafik bisa menggunakan penebalan garis pada bagian daerah Himpunan Penyelesaian atau diberi tanda titik tebal seperti contoh.
2. Pasangan Pertidaksamaan
ada kalanya suatu peubah (varaibel) harus memenuhi dua pertidaksamaan sekaligus
contoh:
Selesaikan pasangan pertidaksamaan berikut, dengan:
x ∊ R, R = { x | x bilangan Real }
x > 5 ................... (1)
2x - 3 > 0 ........... (2)
Penyelesaian yang ditanyakan harus memenuhi kedua pertidaksamaan; 1) merupakan penyelesaian pertidaksamaan dan 2) Himpunan Penyelesaiannya merupakan irisan dari himpunan-himpunan penyelesaian kedua pertidaksamaan
(1) x > 5 , Himpunan Penyelesaiannya adalah
S = { x | x > 5, x ∊ R }
(2) 2 x - 3 > 0 ⇔ x > 1 1/2, Himpunan Penyelesaiannya adalah
T = { x | x > 1 1/2, dan x ∊ R }
kemudian dicari irisan dari keduanya
S ∩ T = { x | x > 5, x ∊ R }
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya { x | x > 5, x ∊ R }
jika digambarkan menggunakan grafik sebagai berikut.
3. Nilai ax + b
Pada bentuk kinier, misalnya 2x + 6 dam "x" diganti dengan "-3", maka bentuk itu mempunyai nilai nol, -3 disebut nilai nol dari 2x + 6. Pada garis bilangan, titik -3 disebut titik nol untuk grafik 2x + 6.
Apabila "x" diganti dengan bilangan yang l;ebih besar dari -3, misalnya 1, ternyata 2x + 6 mempunyai nilai 2 (1) + 6 = 8 atau bernilai positif, sedangkan apabila "x" diganti dengan bilangan yang kurang dari -3 misalnya -4, ternyata 2x + 6 = 2 (-4) + 6 = -8 atau bernilai negatif
kesimpulannya:
2x + 6 = 0 untuk x = -3
2x + 6 > 0 untuk x > -3
2x + 6 < 0 untuk x < -3
Grafik dari hasil tersebut dapat digambarkan seperti gambar di bawah ini.
4. Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk Umum dari pertidaksamaan kuadrat seperti berikut.
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≤ 0
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c ≥ 0
dimana, a, b, c bilangan Real dan a ≠ 0
Langkah-langkah menentukan Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, yaitu:
a. Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan kudrat dari : ax² + bx + c = 0
b. Tentukan nilai Diskriminanya atau D = b² - 4.a.c. apabila
D > 0 berarti mempunyai dua penyelesaian,
D = 0 mempunyai satu penyelesaian,
D < 0 tidak mempunyai penyelesaian atau himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong
Banyakanya penyelesaian ini digunakan untuk menentukan banyaknya titik pada garis bilangan
c. Perhatikan cara mennetukan Himpunan Penyelesaiannya
contoh :
x² - 5x + 4 > 0, dengan cara faktorisasi menjadi ( x - 4) ( x - 1) = 0, berarti Himpunan Penyelesaiannya adalah {1, 4}. Karena ( x - 4) ( x - 1) > 0, selanjutnya dibuat garis bilangan dan diberi nilai x masing-masing intervalnya yaitu, x < 1, 1 < x < 4, dan x > 4, karena pembuat nol dari x² - 5x + 4 ialah x = 1 dan x = 4. Berikut garis bilangan untuk menyelidiki nilai x yang memenuhi ( x - 4) ( x - 1) > 0.
Caranya menyelidikinya sebagai berikut:
1). Pilih sembarang x untuk x < 1 misalnya x = 0 berarti ( 0 - 4) ( 0 - 1) = 4 > 0
Jadi, untuk semua x < 1 nilai ( x - 4) ( x - 1) > 0
2). Pilih sembarang x untuk 1< x < 4 misalnya x = 2 berarti ( 2 - 4) ( 2 - 1) = -2 < 0
Jadi, untuk semua 1< x < 4 nilai ( x - 4) ( x - 1) < 0
3). Pilih sembarang x untuk x > 4 misalnya x = 5 berarti ( 5 - 4) ( 5 - 1) = 4 > 0
Jadi, untuk semua x > 4 nilai ( x - 4) ( x - 1) > 0
jika digambarkan menggunakan garis bilangan seperti berikut.
Kesimpulan dari penyelidikan menggunakan garis bilangan disimpulkan bahwa ( x - 4) ( x - 1) > 0 atau bernilai positif haruslah yang bernilai positif x < 1 atau x > 4
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah { x | x < 1 atau x > 4}
Contoh Soal Cerita
Sawah Pak Ahmad berbentuk persegi panjang dengan panjang 6 m lebihnya dari lebar persegi panjang tersebut. Apabila sawah Pak Ahmad tersebut minimal 160 m². Berapa panjang dan lebar sawah Pak Ahmad?
Jawab:
Misal: panjang sawah Pak Ahmad = x m
lebar sawah Pak Ahmad = (x - 6) m
Luas sawah Pak Ahmad x ( x- 6) minimal 160 m². Kalimat matematikanya menjadi pertidaksamaan sebagai berikut:
x ( x - 6) ≥ 160
x² - 6x ≥ 160
x² - 6x - 160 ≥ 0
(x - 16) (x + 10) ≥ 0
x - 16 = 0 x + 10
x = 16 atau x = -10
kemudian , lakukan penyelidikan dengan nilai x yang memenuhi mulai dari pilih
a. x < -10
b. -10 < x < 16
c. x > 16
dibuatkan garis bilangan sebagai berikut
Jadi, Himpunan Penyelesaian dari (x - 16) (x + 10) ≥ 0 adalah {x | x ≤ -10 atau x ≥ 16 }, karena panjang sawah berarti x harus positif atau x > 0, sehingga Himpunan Penyelesaiannya adalah { x | x ≥ 16}
Jadi, panjang sawah Pak Ahmad minimal atau paling sedikit (16-6) m atau 10 m.
Soal Latihan
1. Selesaikan pertidaksamaan-pertidaksamaan
a. 5x - 7 < 7x + 2
b. 25 - 4x > 3 (x - 8)
c. 2 (x - 3) - 4 ( x + 5) > 6 (x - 77)
2. Selesaikan pasangan-pasangan pertidaksamaan berikut dengan peubah pada himpunan bilangan real
a. -x > -1 dan x - 3 < 0
b. -6 - y < 5 dan 7y > 5y + 4
c. 21x + 7 > 14x + 49 dan 4x - 2 < 2x + 5
3. Sutau persegi panjang mempunyai lebar 3 cm kurangnya dari panjangnya. Apabila keliling persegi panjang tersebut paling sedikit 70 cm, berapa panjang dan lebar dari persegi panjang tersebut?
4. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini.
a. x² + 8x + 16 > 0
b. x² - 6x < 0
c. 2x² - 3x + 4 > 0
5. Selisih dua bilangan adalah 10. Apabila perkalian keduanya maksimum 11. Berapakah bilangan tersebut?
Setelah membaca materi di atas, silahkan mengerjakan soal latihan yang dikerjakan di kertas folio bergaris kemudian, discan dalam bentuk pdf (selain pdf tidak dikoreksi), Paling lambat 30 April 2023 pukul 09.00 WIB di link kelas masing-masing
-selamat belajar-
Tidak ada komentar:
Posting Komentar