Persamaan Kuadrat

1. Persamaan Kuadrat dengan Satu Variabel

    Bentuk Umum (BU) dari persamaan kuadrat dengan satu variabel adalah ax² + bx + c = 0, dengan syarat, a, b, c bilangan Real dengan a ≠ 0

contoh :

x² + 5x + 5 = 0

2x² + 9x + 5 = 0

x² -16 = 0

    Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat sama artinya dengan menentukan semua bilangan pengganti variabel pada persamaan kudrat tersebut. Sejingga menjadi proposisi yang benar. Bilangan-bilangan yang memenuhi persamaan tersbeut dinamakan penyelesaian atau akar persamaan 

Cara-cara menyelesaikan persamaan kuadrat:

a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara faktorisasi

    Kita ingat kembali hasil kali istimewa di bawah ini, yaitu:

    1)  a (b + c) = ab + ac atau ab + ac = a + (b + c)

    2)  (a + b) (a + c) = a² + (b + c)a + bc atau  a² + (b + c)a + bc = (a + b) (a + c)

    3)  (a + b) (a - b) = a² - b²  atau a² - b² =  (a + b) (a - b)

    4)  (a + b)² = a² + 2ab + b²  atau  a² + 2ab + b²   = (a + b)²

    5)  (a + b) (c + d) = ac + bc + ad + bd

    Kita ingat juga bahwa jika p dan q bilangan Real dan pq = 0, maka p = 0 atau q = 0. Selanjutnya untuk menentukan faktorisasi dari persamaan tersebut ruas kanan dijadikan nol lebih dahulu

   contoh:

   Tentukan Himpunan Penyelesaian dari x² + 7x = -10

   

   Jawab:

   x² + 7x = -10

   x² + 7x + 10 = -10 +10

   x² + 7x +10 = 0

   ( x + 5) ( x + 2) = 0

   

   x + 5 = 0 atau x + 2 = 0

   x = -5     atau  x = -2

 

   Jadi, HP = {-5,-2}

b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat. Usahakan suku-suku yang memuat variabel hanya pada satu ruas dan suku-suku yang tidak memuat variabel pada ruas yang lain, kemudian melengkapinya untuk dijadikan bentuk kuadrat murni. Tambahkan kuadrat dari seperdua koefisien x pada kedua ruas persamaanya, sesudah koefisien dari x² dijadikan satu.

   contoh:

   Tentukan Himpunan  Penyelesaian dari x² -6x - 16 = 0

   Jawab:

   x² - 6x - 16 = 0

   x² - 6x - 16  + 16 = 0 + 16

   x² - 6x  = 16

   x² - 6x + 9  = 16 + 9

   x² - 6x + 9  = 25

  (x - 3)² = 25

  (x - 3)²  - 25 = 25 - 25

  (x - 3)²  - 25 = 0

  [(x - 3) +5] [(x - 3) - 5] = 0

  

   (Ingat dua bilangan Real hasil kalinya nol apabila salah satu nol atau keduanya nol)

    [(x - 3) +5] = 0 atau  [(x - 3) - 5] = 0

    x - 3 + 5 = 0    atau   x - 3 -5 = 0

    x + 2 = 0         atau  x - 8 = 0

    x = -2          atau    x = 8

    Jadi, HP = {-2 , 8}

c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus

    Penurunan rumusnya seperti berikut ini:

   ax² + bx + c = 0, a, b, dan c bilangan Real dan a ≠ 0

   ax² + bx + c - c  = 0 - c 

   ax² + bx  = - c 

  
contoh:

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari x² - 2x - 8 = 0

Jawab:

 dari persamaan tersebut nilai a = 1; b = -2; dan c = -8

   

2. Diskriminan (D)

       Untuk berikutnya D disebut diskriminan dari persamaan kuadrat dengan Bentuk Umum ax² + bx + c = 0, dengan syarat, a, b, c bilangan Real dengan a ≠ 0, Diskriminan ditulis D = b² - 4ac

Perhatikan

a) Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai penyelesaian bilangan Real

b) Jika D = 0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai penyelesaian satu bilangan Real (dua bilangan Real yang sama)

c) Jika D > 0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai penyelesaian bilangan Real yang berbeda

contoh:

1) tentukan jenis akar dari persamaan dengan tanpa menyelesaikan persamaan terlebih dahulu (Selidikilah melalui nilai Diskriminannya)

Jawab:

x² - x - 12 = 0, persamaan kuadrat ini mempunyai nilai

 a = 1, b = -1, dan c = -12

D = b² - 4ac

    = (-1)² - 4. 1. (-12)

    = 1  + 48

    = 49

karena D = 49 atau D > 0, berarti persamaan kuadrat tersebut mempunyai penyelesaian dua bilangan Real yang berbeda atau akar-akar dua bilangan Real nya berbeda

2) Tentukan jenis akar dari x² + 25 = 10x, dengan tanpa menyelesaikan persamaan terlebih dahulu

Jawab:

x² + 25 = 10x

x² - 10x + 25 = 0

x² -10x +25 = 0, persamaan kuadrat ini mempunyai nilai a = 1, b = -10, dan c = 25

D = b² - 4ac

    = (-10)²- 4. 1. 25

    =  100 - 100

    = 0

karena D = 0, berarti persamaan kuadrat tersebut mempunyai satu penyelesaian bilangan Real atau akar-akarnya hanya satu bilangan Real (dua bilangan Real yang sama)

3) Tentukan jenis akar dari x² - x + 4 = 0, dengan tanpa menyelesaikan persamaan terlebih dahulu

Jawab:

x² - x + 4 = 0, persamaan kuadrat ini mempunyai a = 1, b = -1, dan c = 4

D = b² - 4ac

    = (-1)² - 4.1.4

    = 1 - 16

    = -15

karena D = -15 atau D < 0, berarti persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai penyelesaian bilangan Real.

3. Sifat-sifat akar

 Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat dari ax² + bx + c = 0, dengan D > 0, maka 

atau

sebagai akibar dari rumus tersebut, diperoleh:

Contoh:

Soal Latihan

Selesaikan pertanyaan di bawah ini dengan tepat!

1. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari 2x² - 9x - 5 = 0
2. Jika persamaan kuadrat (p + 1)x² - 2 (p + 3)x + 3p = 0, mempunyai dua akar yang sama, maka, Berapa nilai konstanta p?
3. Berapakah hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 2x² - 4x + 6 = 0 ?
4. x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat 3x² - x - 5 = 0. Bagaimana persamaan kuadrat baru yang akar-akarnmya 3x1 + 1 dan 3x2 + 1
5. Tentukan jenis akar dari x² + x - 3 = 0, tanpa menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu

- selamat mengerjakan-

silahkan Soal Latihan dapat dikerjakan di kertas folio, kemudian di scan dan dikumpulkan di link berikut:

KELAS 01

KELAS 02

KELAS 03

KELAS 04

format filename: NAMA_NPM.pdf (tidak terkoreksi dalam bentuk.jpg)

paling lambat dikumpulkan Senin, 27 Maret 2023, pukul 05.00 WIB

Persamaan Linier

    Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai hal-hal yang saling brhubungan, misalnya tentang luas tanah seseorang dibandingkan dengan luas tanah orang lain. Kemudian, terkait dengan umur seseorang berapa kalinya umur orang lain, kita dapat menggunakan relasi sama dan membuat peubah. Hal tersbeut merupakan mnegubah apa yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari ke dalam model matematika yang dinamakan persamaan. Akan dibahas di bawa terkait dengan persamaan liner dengan satu peubah, dua peubah, dan soal-soal cerita  beserta penyelesaiannya.

A. Persamaan Linier

 1. Kalimat Terbuka

     Kalimat yang memuat variabel bebas disebut kalimat terbuka

     

     contoh: 

     x adalah bilangan ganjil

     y lebih besar dari 15

    Pada contoh di atas variabel bebasnya yaitu x, dan y. Apabila variabel tersebut diganti secara berkala  maka akan diperoleh suatu proposisi. Misalkan x pada contoh a, diganti dengan bilangan 3 kalimatnya menjadi 3 adalah bilangan ganjil (proposisinya Benar) dan jika diganti bilangan 2, kalimatnya menjadi 2 adalah bilangan ganjil (proposisinya Salah). Pemberian nama untuk variabel diberikan menggunakan huruf kecil, tidak selalu disimbolkan dengan huruf x dan y. Sedangkan pengganti-pengganti variabel yang membuat kalimat-kalimat tersebut menjadi proposisi disebut konstanta. Konstanta-konstanta yang emmbuat kalimat terbuka menjadi proposisi benar disebut penyelesaian atau jawaban.

2. Kesamaan

    suatu proposisi benar yang memuat tanda "sama" disebut kesamaan

   

    contoh:

    2 x 5 = 10 x 1

        14 = 2 x 7

    Bagian yang dipisahkan dengan tanda "=" disebut ruas, disebelah kiri tanda "=" disebut ruas kiri sedangkan yang berada di kanan disebut ruas kanan.

    

   Sifat-sifat Kesamaan

   a. Sifat Aditif

       Jika a= b maka a + c = b + c adalah benar, dengan a,b, dan c ∊ R

       contoh :

       Jika 3 + 5 = 8 , maka (3 + 5) + 4 = 8 + 4, bernilai Benar

   b. Sifat Multikatif

       Jika a = b, maka a x c = b x c adalah Benar, dengan a,b, dan c ∊ R

       contoh :

       Jika 3 + 5 = 8, maka  (3 + 5) x 3 = 8 x 3

3. Persamaan

    Suatu kalimat terbuka yang memuat tanda "sama" disbeut persamaan

    Contoh:

    2x = 14

    3y = y²

    4n + 7 = 2n + 11

   

    Menyelesaikan suatu persamaan merupakan suatu proses mencari suatu bilangan (konstanta) yang membuat suatu persamaan menjadi proposisi Benar, konstantda tersebut dinamakan pneyelsaian atau akar dari persamaannya. Himpunan semua penyelesaian suatu persamaan disebut Himpunan Penyelesaian (HP).

  

   contoh:

   2x = 14 , HP = {7}

   2x + 5 = 9, HP = {2}

   x + y = 5, x dan y bilangan Asli, HP =  {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}

   x² + 8x + 12 = 0 , HP = { -6,-2}

    Dua persamaan mempunyai Himpunan Penyelesaian yang sama disebut persamaan-persamaan yang 

    ekuivalen

4. Persamaan Linier dengan Satu Variabel (Peubah) (SPLSV)

    Bentuk Umum (BU) dari persamaan linier satu variabel yaitu ax + b = 0, dengan a ≠ 0.

    Merupakan persamaan yang paling sederhana dan ekuivalen dengan persamaan semula. 

    Langkah-langkahnya: suku-suku yang memuat variabel yang sama pada satu ruas kiri dan konstanta-

    konstanta (bilangan tetap)  diusahakan ada di ruas kanan.

    contoh:

    Tentukan Himpunan Penyelesaian dari 2 (x - 1) + 4 (x + 2) = 5x + 2

    

    Jawab: 

    2 (x - 1) + 4 (x + 2)    = 5x + 2

    2x - 2 + 4x + 8           = 5x + 2

    2x + 4x - 5x                = 2 + 2 - 8

                                    x  = -4

   

     Jadi, HP ={-4}

   

5. Persamaan Linier dengan Dua Variabel (SPLDV)

    Jika akan menentukan dua konstanta sebagi pengganti dua variabel yang belum diketahui, maka diperlukan dua persamaan yang diketahui. Biasanya, soal cerita memuat dua hal yang belum diketahui dan akan dicari penyelesaiannya dengan menggunakan persamaan, dua hal yang belum diketahui dinyatakan dengan dengan dua variabel (peubah).

    contoh:

    Dua bilangan cacah jumlahnya 5, bilangan-bilangan berapakah itu?

    

    Jawab:

   misalnya: bilangan yang ke-1 adalah x,

                   bilangan ke-2 adalah y

                    x + y = 5, x dan y bilangan Cacah

   untuk x = 0 → 0 + y - 5 = 0

                                      y  = 5

   untuk x = 1 → 1 + y - 5 = 0

                                      y  = 4

   untuk x = 2 → 2 + y - 5 = 0

                                      y  = 3

   untuk x = 3 → 3 + y - 5 = 0

                                      y  = 2

   untuk x = 4 → 4 + y - 5 = 0

                                      y  = 1

   untuk x = 5 → 5 + y - 5 = 0

                                      y  = 0

  Jadi, HP = {(0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0)}

6. Cara-cara Menyelesaikan Persamaan

a. Eliminasi dengan Substitusi

    Jika dari dua persamaan akan dicari penyelesaiannya, maka salah satu variabel dari persamaan pertama dinyatakan ke dalam variabel yang lainnya. Selanjutnya substitusikan ke dalam persamaan yang kedua tadi, dengan demikian nilai dari satu variabel yang sudah ditemukan tadi dimasukkan pada persamaan yang akhirnya variabel yang lain dapat juga ditentukan nilainya.

contoh:

Tentukan penyelesaian dari pasangan persamaan 5m + 4n = 13 dan 3m + 2n = 7 , dengan m dan n bilangan Rasional

Jawab:

b. Eliminasi dengan Penjumlahan atau pengurangan

   Jika dari dua persamaan akan dicari penyelesaiannya maka nilai mutlak koefisen dari veariabel yang akan dieliminasi (dihilangkan) disamakan dulu. Selanjutnya, kedua persamaan tersebut dijumlahkan atau dikurangkan supaya menghasilkan persamaan baru yang hanya memuat satu variabel.

Contoh: 

Tentukan penyelesaian dari pasangan persamaan 5m + 4n = 13 dan 3m + 2n = 7, dengan m dan n 

bilangan Rasional

Jawab:

c. Eliminasi dengan cara menyamakan (Gabungan)

   Jika dari dua persamaan akan dicari penyelesaiannya, maka dari masing-masing persamaan, variabel yang akan dihilangkan dinyatakan dalam variabel lain.

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari pasangan persamaan 5m + 4n = 13 dan 3m + 2n = 7, dengan m dan n 

bilangan Rasional

Jawab:

7. Contoh mengubah Kalimat-kalimat pada soal cerita ke dalam persamaan

 a. Panjang sebuah persegi panjang, panjangnya 4m lebih dari lebar. Luas persegi panjang itu 12 m². Hitunglah panjang dan lepar persegi panajg itu. Cara menentukan persamaannya sebagai berikut.

Misalkan:

panjang dari persegi panjang  = am

lebar dari persegi panjang       = bm 

Panjangnya 4m lebihnya dari lebar, persamannya menjadi

a - 4 = b atau a = b + 4

Luas persegi panjang = panjang x lebar (dalam hal ini luas a x b )

12 = a x b

12 = (b + 4) x b

b. Aida pergi ke toko membeli gula dan beras, harga 1 kg gula 2 kali harga 1 kg beras. Aida membeli 4 kg beras dan 6 kg gula harganya Rp. 24.000,00. Berapa masing-masing harga gula dan beras setiap kg ?

Cara menentukan persamaannya sebagai berikut:

Misalkan:

harga 1 kg beras = x rupiah

harga gula 2 kali harga 1 kg beras berarti harga 1 kg gula = 2x rupiah

4 kg beras dan 6 kg gula harganya Rp. 24.000,00

Persamaannya menjadi 4 (x) + 6 (2x) = 24.000 atau 4x + 12x = 24.000

Soal Latihan

Kerjakan soal di bawah ini di kertas folio bergaris, kemudian scan dan kumpulkan di link sesuai dengan kelas masing-masing!

1. Robi merencanakan membuat kandang ayam. Jika lebarnya 2,4 m, maka lebar kandang tersebut 0,6m lebih dari panjang  kandang. Berapakah panjang kandang itu?
2. Dani mempunyai uang logam sebanyak 129 mata uang dan terdiri dari uang Rp. 500,00 serta uang logam Rp. 100,00. Uang tersebut semuanya bernilai Rp. 24.500,00. Berapa uang logam Rp. 500,00 yang dimiliki Dani?
3. Jika 3m - n = 22 dan 2m + 3n = -11, maka Berapa nilai m dan n ?
4. Jika nilai p dan q merupakan penyelesaian dari sistem persamaan 3x + y = 7 dan 2x - 5y = 16, maka, Berapa nilai dari 4p + q  ?
5. Harga 2 kg salak dan 3 kg jeruk adalah Rp. 53.500,00. Sedangkan harga 3 kg salak dan 2 kg jeruk adalah Rp. 49.000,00. Berapa harga 1 kg salak dan 5 kg jeruk ?
6. Buatkan 3 (tiga) soal matematika dengan materi persamaan linier yang menggunakan contoh konkret kehidupan sehari-hari!

-selamat mengerjakan-

Link pengumpulan , Kamis, 21 Maret 2024, pukul 23.59 WIB

KELAS 01

KELAS 02

KELAS 03

KELAS 04

format FILENAMA: NAMA_NPM.pdf (harus pdf), tidak perlu membuat folder nama

Penarikan Kesimpulan Logika Matematika

Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas.

ada 2 macam kuantor, yaitu:

1. Kuantor Universal : suatu pernyataan yang berlaku secara umum, dinotasikan dengan simbol " ∀x "

    yang dibaca "untuk semua nilai x" atau untuk setiap nilai x"

   contoh :

   semua kucing mengeong

   setiap benda langit berbentuk bola dan bercahaya

2. Kuantor Ekstensial: suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, dinotasikan dengan simbol " ∃x "

    yang dibaca "ada nilai x " atau " beberapa nilai x "

    

    contoh :

    ada rumah tidak memiliki jendela

    beberapa pasien adalah wanita

Ada tiga metode penarikan kesimpulan yang sah dalam bahasan logika matematika yaitu modus ponens, modus tollens, dan silogisme. Penarikan kesimpulan dalam logika matematika sama dengan mendapatkan argumen yang tidak bertentangan dengan premis-premis. Kesimpulan yang sah didapatkan melalui metode penarikan kesimpulan dalam logika matematika.

1. Modus Ponens

Penalaran modus ponens mengikuti aturan penalaran yang valid bahwa jika p maka q dan p maka q pasti benar. Premis pertama modus ponens merupakan implikasi yaitu jika p maka q, sedangkan premis kedua merupakan proposisi tunggal yaitu p. Kesimpulan yang valid dari suatu argumen adalah proposisi tunggal, yaitu q.

atau bisa dituliskan dengan " (p ⇒ q ∧ p) ⇒ q " kemudian dibuktikan kebenarannya sebagai berikut:

2. Modus Tollens

Penarikan kesimpulan modus tollens mengikuti aturan kesimpulan yang sah untuk jika p maka q dan ~q maka ~p harus benar. Diasumsikan jika p maka q (p ⇒ q) bernilai benar dan diketahui ingkaran q (~q) bernilai benar. Sehingga, agar implikasi dari p dan q bernilai benar maka ingkaran p (~p) harus benar.

atau bisa ditulis dengan "" (p ⇒ q ∧ ~q) ⇒ ~p ", dibuktikan kebenarannya sebagai berikut:

3. Silogisme

Kesimpulan yang sah dari metode silogisme merupakan kesimpulan dari keadaan yang umum ke yang khusus. Aturan dasar penarikan kesimpulan silogisme menyatakan bahwa jika p maka q dan jika q maka r keduanya bernilai benar menghasilkan kesimpulan jika p maka r juga bernilai benar.

atau bisa ditulis dengan "" [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) ", dibuktikan kebenarannya sebagai berikut:

Soal Latihan

1. Diketahui premis-premis berikut.

    Premis 1 : Jika kesadaran akan kebersihan meningkat maka sampah yang berserakan  

                     berkurang

    Premis 2 : Jika sampah yang berserakan berkurang maka saluran air lancar

    Premis 3 : Jika saluran air lancar maka masyarakat bahagia

    Bagaimana kesimpulannya?

2. Diketahui premis-premis berikut.

    Premis 1 : Jika hujan turun maka jalan menjadi licin

    Premis 2 : Jika jalan menjadi licin maka pengendara sepeda motor menepi

    Premis 3 : Hujan turun

    Bagaimana kesimpulannya?

3. Diberikan premis-premis sebagai berikut

    Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik

    Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik, maka semua orang tidak senang

   

   Bagaimana Ingkaran dari kesimpulan di atas ?

- selamat mencoba -