Bilangan cacah (whole numbers) didefinisikan sebagai gabungan antara bilangan asli (natural numbers) dengan bilangan nol (0). Jadi dapat dituliskan C = {0,1,2,3,...}. Bilangan cacah dapat didefinikan juga sebagai bilangan yang digunkaan untuk menyatakan cacah anggota atau kardinalitas sutau himpunan. Jika suatu himpunan yang karena alasan tertentu tidak mempunyai anggota sama sekali, maka cacah anggota himpunan itu dinyatakan dengan "nol" dan dinyatakan dengan lambang "0".
A. Operasi Pada Bilangan Cacah
Operasi hitung tersebut adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang mana masing-masing saling berkaitan. Oleh karena itu, pemahaman konsep dan keterampilan melakukan operasi yang satu akan berpengaruh pada pemahaman konsep dan keterampilan yang lain.
1. Operasi Penjumlahan
Operasi penjumlahan pada bilangan cacah pada dasarnya merupakan suatu aturan yang mengkaitkan setiap pasang bilangan cacah dengan bilangan cacah yang lain. Jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka jumlah kedua bilangan tersebut dilambnagkan dengan " a + b " yang dibaca " a tambah b " atau " jumlah dari a dan b ".
Penjumlahan dapat didefinisikan sebagai berikut: andaikan a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, A dan B adalah himpunan-himpunan yang terpisah, sedangkan a = n(A) dan b = n(B), maka a + b = n(A∪B).
Kata-kata yang sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan penjumlahan antara lain: digabungkan, disatukan, dijadikan satu wadah, dijumlahkan, dimasukkan, dan pengulangan suatu kegiatan.
Sifat-sifat Operasi Penjumlahan
a. Tertutup
Sifat tertutup dalam penjumlahan bilangan cacah adalah setiap jumlah (hasil penjumlahan) blangan cacah sellau menghasilkan bilangan cacah pula. atau dengan kata lain untuk setiap a dan b bilangan cacah maka a + b bilangan cacah pula.
Contoh:
2 + 3 = 5, bilangan 5 termasuk bilangan cacah
b. Komutatif
Sifat komutatif (sifat pertukaran) dalam penjumlahan bilangancacah selalu menunjukkan untuk setiap bilangancacah a dan b, berlaku a + b = b + a.
Contoh:
2 + 4 = 4 + 2
3 + 6 = 6 + 3
c. Asosiatif
Sifat asosiatif (pengelompokkan) dalam penjumlahan bilangan cacah selalu menunjuk untuk setiap bilangan cacah a, b, dan c, berlaku (a + b) + c = a + (b + c).
Contoh:
(2 + 4) + 5 = 2 + (4 + 5)
(3 + 2) + 6 = 3 + (2 + 6)
d. Sifat penjumlahan dengan bilangan 0 (nol) atau Unsur Identitas
Setiap bilangan cacah bila dijumlahkan dengan bilangan nol selalu menunjukkan pada bilangan itu sendiri, atau untuk setiap bilangan cacah a, berlaku a + 0 = 0 + a = a
Contoh:
5 + 0 = 0 + 5 = 5
Contoh dalam Soal Cerita:
Pada hari Raya Idul Fitri, Anto mendapatkan uang dari ketiga saudaranya, yang masing-masing besarnya Rp. 57.000,-, Rp.,25.000,-, dam Rp,75.000,-. Berapakah jumlah uang yang diterima Anto seluruhnya?
Jawab:
57.000 + 25.000 + 75.000 = ...
atau
dikerjakan dengan menggunakan sifat asosiatif dengan cara:
57.000 + (25.000 + 75.000) = ... Mengapa?
Pemahaman konsep dasar dalam penjumlahan diarahkan pada penguasaan fakta dasar penjumlahan.
2. Operasi Pengurangan
Operasi pengurangan pada dasarnya merupakan kebalikan daripada operasi penjumlahan. Jika dalam penjumlahan, jumlahnya dan salah satu unsur penjumlahannya sudah diketahui, maka proses penentuan unsur penjumlahan yang lainnya memerlukan operasi pengurangan. Jadi, jika sebuah bilangan cacah a dikurangi dengan bilangan cacah b , maka akan menghasilkan bilangan cacah c (dilambangkan dengan a - b = c). Sehingga operasi penjumlahan yang terkait adalah b + c = a. Dimana pada operasi pengurangan tidak memenuhi sifat-sifat yang dimiliki oleh operasi penjumlahan di atas. kecuali sifat tertutup.
Operasi pengurangan tidak memenuhi sifat tertutup, sebab tidak setiap a dan b pada bilangan cacah akan menghasilkan a - b bilangan cacah pula. Seperti 2 - 4 = -2, dimana -2 bukan bilangan cacah.
Operasi pengurangan tidak memenuhi sifat pertukaran (komutatif), sebab tidak setiap a dan b berlaku a - b = b - a. Seperti 4 - 2 ≠ 2 - 4. Bahkan a - b = b - a hanya dapat terpenuhi oleh bilangan-bilangan yang sama.
Operasi pengurangan juga tidak memenuhi sifat identitas, sebab bisa ditemukan adanya bilangan cacah a sehingga a - 0 ≠ 0 -a.
Operasi pengurangan juga tidak memenuhi sifat pengelompokkan (asosiatif), sebab bisa diperoleh bilangan-bilangan cacah a, b, dan c sehingga (a - b) - c ≠ a - (b - c). Seperti a = 8 , b = 4, dan c = 2. Maka (a - b) - c = (8 - 4) - 2 = -2 ≠ a - (b - c) = 8 - (4 - 2) = 6.
3. Operasi Perkalian
Operasi perkalian bilangan cacah pada dasarnya didefinisikan sebagai hasil penjumlahan berulang bilangan-bilangan cacah. Jika a dan b bilangan-bilangan cacah, maka a x b dapat didefinisikan sebagai b + b + b + ... + b (sebanyak a kali). Atau a x b adalah penjumlahan berulang yang mempunyai a suku dan tiap-tiap suku adalah b. Atau perkalian a x b adalah penjumlahan atau penjumlahan berganda yang mempunyai a suku dan tiap-tiap suku sama dengan b. Oleh karenanya, 4 x 3 sama dengan 3 + 3 + 3 + 3, sementara 3 x 4 sama dengan 4 + 4 + 4. Jadi, secara konseptual a x b tidak sama dengan b x a, akan tetapi jika dilihat dari hasil kalinya maka a x b = b x a.
Jika N + N = 2 x N, maka N + N + N = 3 x N, dan seterusnya. Definisi perkalian dapat diilustrasikan dengan 2 x 5 = 10 sebagai " 2 Grup dari 5 adalah 10". Misal, jika ada 4 kandang ayam, dalamsetiap kandangnya terdapat 5 ekor ayam, maka jumlah ayam tersebut adalah 5 + 5 + 5 + 5 = 4 x 5 = 20 ekor ayam.
Contoh 1:
Perkumpulan bulu tangkis mempunyai pemain putra sebnayak 3 orang, yaitu : Rudi, Candra, dan Gunardi, serta mempunyai 2 orang pemain putri, yaitu Susi dan Santi. Jika diturunkan bermain dalam pasangan ganda campuran, maka pasangan yang mungkin:
1) Rudi dan Susi
2) Rudi Santi
3) Candra dan Susi
4) Candra dan Santi
5) Gunardi dan Susi
6) Gunardi dan Santi.
Jadi, banyaknya pasangan atau kombinasi yang mungkin terjadi adalah 6 pasang yang didapat dari pemasangan silang dua anggota himpunan dari perkalian bilangan 3 dan bilangan 2.
Contoh 2:
Ambil dua himpunan A dan B yang saling lepas, A dengan a anggota dan B dengan b anggota, kemudian bentuklah A x B. Maka banyaknya anggota (pasangan) dalam A x B disebut a x b.
Misalkan A = {a,b} dan B = {k,l,m}, maka A x B = {(a,k), (a,l), (a,m), (b,k), (b,l),(b,m)}.
Perkalian dapat pula dipandang sebagai gabungan dari sutau himpunan atau dengan kata lain, a x b adalah banyaknya anggota dalam persatuan (gabungan) a himpunan, yang sepasang-sepasang lepas dan masing-masing mempunyai b anggota.
Untuk pemantapan penguasaan fkata dasar perkalian dapat digunakan tabel, jari tangan, dan mengkaitkan suatu perkalian dengan fakta yang mudah diingat, seperti kelipatan dua yang hasil perkaliannya selalu bilangan genap, kelipatan lima sering pada penggaris atau bilangan menit dalam jam (satu bilangan nilainya 5 menit), dan kelipatan tujuh yang ada pada perhitungan hari dalam satu minggu.
Sifat-sifat Operasi Perkalian
a. Tertutup
Jika ada sua bilangan cacah atau lebih dikalikan, maka hasilnya bilangan cacah pula. Atau setia a dan b bilangan cacah maka a x b bilangan cacah pula
Contoh:
2 x 4 = 8, dimana 8 merupakan bilangan cacah
b. Komutatif
Sifat pertukaran (komutatitf) didefinisikan: untuk semua bilangan cacah a dan b berlaku
a x b = b x a. Atau dengan kata lain hasil suatu perkalian tidak berubah bila pengali dan yang terkalikan dipertukarkan. Sifat ini sangat membantu dalam perhitungan mencari luas bidang datar khususnya persegi panjang.
c. Asosiatif
Operasi perkalian memenuhi sifat asosiatif (pengelompokkan), yaitu setiap bilangan cacah a, b, dan c berlaku (a x b) x c = a x (b x c).
Contoh:
untuk mengalikan 2 x 3 x 4 dapat dilakukan dengan cara yang berbeda, yaitu:
2 x 3 x 4 = (2 x 3) x 4 = 6 x 4 = 24
2 x 3 x 4 = 2 x (3 x 4) = 2 x 12 = 24
Sifat ini sangat membantu dalam menghitung volume bangun ruang. Sifat asosiatif dapat dikatakan sulit diterima siswa kelas 3 SD sebab kemampuan siswa masih terbatas, yaitu harus memahami benda ruang tiga dimensi dimana siswa harus mempunya kemampuan spasial.
d. Elemen Identitas
Untuk setiap bilangan cacah a berlaku 1 x a = a x 1 = a. Bilangan 1 adalah elemen identitas perkalian. Sedangkan untuk bilangan 0 (nol) berlaku 0 x a = 0 dan a x 0 = 0
Contoh :
4 x 1 = 1 x 4 = 4
6 x 1 = 1 x 6 = 6
4 x 0 = 0 x 4 = 0
e. Distributif
Sifat distributif (penyebaran) perkalian terhadap penjumlahan menunjukkan untuk setiap bilangan cacah a, b, dan c berlaku: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a)
B. Pembelajaran Operasi Hitung Bilangan Cacah
Ada dua pengetahuan yang perlu dibedakan dalam belajar matematika, yaitu penegtahuan prosedural dan pengetahuan konseptual. Pengetahuan prosedural mencakup pengetahuan tentang simbol, bahasa, dan aturan-aturan pengerjaan (operasi). Sementara itu, pengetahuan konseptual berkaitan dengan pemahaman konsep. Seorang peserta didik sudah mampu menyebutkan nama bilangan, menulis lambang bilangan, dan mampu menjumlahkan atau melakukan operasi yang lain dan dikatakan sudah memiliki pengetahuan prosedural. Akan tetapi tidak dijamin bahwa anak tersebut sudah memiliki pengetahuan konseptual yang saling bersangkutan. Seorang anak dikatakan sudah mempunyai konseptual kalau anak tersebut mampu menjelaskan mengapa ia menjawab sebagaimana yang ia jawab atau mampu memberikan argumen yang tepat terhadap apa yang dia lakukan.
1. Operasi Penjumlahan
Pembelajaran operasi penjumlahan pada bilangan cacah dapat dilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut:
a. Penanaman Konsep Penjumlahan
Pemahaman awal tentang konsep dan prosedur penjumlahan terbentuk dari pengalaman informal. Ketika anak bermain, mereka mempunyai kesmepatan untuk berbagi benda-benda yang mereka miliki, menghitung objek-objek yang ada di sekitar mereka, membandingkan tinggi dan jarak benda satu dengan yang lain, dan berbagai aktivitas lain. Anak-anak yang kurang pergaulan mempunyai landasan yang kurang kuat untuk perkembnagan kemampuan matematikanya. Anak-anak di sekolah memerlukan kesempatan dan berpartisipasi di dalam aktivitas-aktivitas yang mirip kegiatan bermain seperti yang sering mereka lakukan di luar kelas. Anak usia SD kelas 1 s.d. 3 masih didominasi dengan bermain. Bermain menjadi kegiatan utama bagi mereka, sehingga guru perlu merancang kegiatan belajar yang menagjar matematika dengan nuansa seperti bermain, sehingga anak betah belajar dan memahami konsep matematika dengan baik. Jika mereka sudah siap, situasi baru dan material-material perlu diperkenalkan untuk memperluas pengetahuannya.
Aktivitas-aktivitas yang dapat membentuk pemahaman intuitif seorang siswa tentang penjumlahan bilangan cacah hendaknya menjadi bagian integral dari upaya mereka belajar menghitung sepuluh dan seterusnya. Guru juga perlu merangsang dengan situasi-situasi yang melibatkan penjumlahan seperti menggunakan benda-benda konkret di dalam aktivitas pembelajarannya.
Perlu disadari oleh guru bahwa kecepatan masing-maisng anak berbeda dalam memahami konsep matematika, termasuk konsep penjumlahan. Pembelajaran yang bersifat perseorangan dan penggunaan benda konkret dalam mengenalkan konsep penjumlahan dengan tingkat kesiapan yang berbeda-beda. Beberapa anak akan menjadi meningkat ke taraf yang lebih abstrak dengan cepat, namun ada beberapa anak yang masih tetap di taraf konkret.
Pembelajaran untuk menanamkan konsep penjumlahan bisa dilakukan dengan menggunakan benda konkret, kemudia ketahap simbol untuk menyatakan hasil dari suatu penjumlahan, dengan harapan peserta didik mempunyai pemahaman akan bilangan dan simbolnya
b. Pengenalan fakta dasar penjumlahan
Setelah memperoleh pemahaman tentang konsep penjumlahan dan mampu menjumlahkan dengan penuh pengertian. Peserta didik perlu diperkenalkan dengan beberapa tabel fakta dasar penjumlahan bilangan cacah. guna memberikan pemahaman dimana peserta didik mengisinya sendiri, kemudian menemukan pola-pola yang berkaitan dengan sifat-sifat operasi penjumlahan pada bilangan cacah.
c. Penguasaan fakta dasar penjumlahan
Fakta-fakta dasar tadi perlu dikuasai untuk mempermudah dalam mempelajari konsep selanjutnya. Penguasaan fakta dasar dapat dilakukan dengan cara sering mengulang-ulang (metode drill and practice) ingatan anak terhadap fakta-fakta tersebut. Kemudian, dapat dilakukan dengan memberikan soal-soal di buku, mengemas dalam bentuk permainan (games), tutor sebaya (peer group). Sehingga guru perlu memfasilitasi permainan matematika agar suasana menjadi lebih menyenangkan.
d. Algoritma penjumlahan
Pembelajaran algoritma penjumlahan dapat dilakukan dengan bantuan benda konkret, seperti Batang Cuisenaire atau Kubus Unifix serta menggunakan simbol dan lambang bilangan. Hal ini dilakukan untuk membentuk keterampilan hitung penjumlahan. Sebagaimana diketahui Batang Cuisenaire terdiri atas batang satuan, batang, puluhan, batang ratusan, dan batang ribuan. Oleh karena itu, dengan soal latihan yang banyak akan semakin meningkatkan keterampilan berhitung penjumlahan dan semakin memantapkan pemahaman konsepnya
2. Operasi Pengurangan
a. Penanaman konsep pengurangan
Untuk menanamkan konsep pengurangan guru perlu mengkaitkan dengan konsep yang telah dimiliki sebelumnya, misalnya konsep penjumlahan. Seperti dimulai dengan mnegajarkan penjumlahan, dimana salah satu bilangannya ada yang belum diketahui. Sebiaknya pula melibatkan benda-benda konkret sebagai aktivitas dalam pembelajarannya. Sebagai contoh: : Terdapat 7 kelereng di dalam kotak. Berapa kelereng lagi kelereng yang perlu ditambahkan sehingga kelereng yang ada di dalam kotak ini menjadi sepuluh kelereng?.
Selanjutnya aktivitas dapat ditingkatkan ke tahap yang lebih tinggi yaitu dengan menggunakan gambar-gambar dari benda-benda yang digunakan untuk aktivitas pembelajaran . Dilanjutkan dengan pengenalan melalui simbol-simbol dan bilangan matematika seperti bentuk 7 + ... = 10 dan ... + 7 = 10 yang sama artinya dengan 10 - 7 = ... yang dikenal dengan istilah pengurangan.
b. Pengenalan fakta dasar pengurangan
Setekah peserta didik melihat hubungan antar fakta dasar penjumlahan dengan fakta dasar pengurangan, langkah berikutnya memperkuat pemahaman awal tentang fakta dasar pengurangan bilangan cacah dengan memberikan latihan yang cukup banyak tentang pengurangan bilangan cacah.
c. Algoritma pengurangan
Pada dasarnya sama dengan algoritma penjumlahan. Pembalajaran pada operasi pengurangam diajarkan emnggunagakan benda konkret, selanjutnya direpresentasikan dalam gambar. Misalnya dengan bantuan Batang Cuisenaire atau kubus Unifix. Setelah pembelajaran dengan menggunakan benda konkret dirasa cukup untuk menanamkan konsep pengurangan, pembelajaran dilanjutkan dengan menggunakan algoritma simbol dan lambang bilangan.
3. Operasi Perkalian
a. Penanaman konsep perkalian
Bisa dilakukan dengan meminta peserta didik membuat himpunan dari benda-benda konkret yang dikenal.
b. Pengenalan fakta dasar perkalian
Fakta dasar perlu diperkenalkan karena memiliki kegunaan yang cukup besar dalam pembelajaran berikutnya.
c. Algoritma perkalian
Pembelajaran algoritma perkalian hendaknya diawali dengan pemberian pengalaman untuk melakukan operasi perkalian dengan benda-benda konkret, terutama untuk bilangan-bilangan yang kecil dan disertai representasi gambar pada tabel nilai tempat. Jika sudah menguasai bisa dilanjutkan dengan menggunakan simbol dan lambang bilangan
4. Operasi pembagian
a. Penanaman konsep pembagian
1) Situasi pengukuran
mempunyai ciri sebagai berikut: ukuran dan himpunan awalnya diketahui dan ukuran dari masing-masing himpunan bagiannya juga diketahui. Permasalahan yang harus diselesaikan dalam situasi pengukuran adalah menentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan tersebut.
Contoh:
tersedia delapan butir telur yang akan digoreng untuk disajikan sebagai sarapan para tamu. Setiap kali sajian memerlukan dua butir telur. Berapa kali sajian yang dapat dilakukan dengan delapan butir telur tersebut?
2) Situasi partisi
mempunyai ciri berikut: ukuran dan himpunan semula diketahui dan banyaknya himpunan bagiannya diketahui. Permasalahan yang akan diselesaikan pada situasi partisi adalah menentukan ukuran dari masing-masing himpunan bagiannya.
Contoh:
tersedia delapan butir telur yang akan disajikan secara merata untuk sarapan empat orang tamu. Berapa butir telurkah yang diperoleh oleh masing-masing tamu?
b. Pengenalan fakta dasar pembagian
Peserta didik sebaiknya diminta mengamati beberapa fakta dasar pembagian dari fakta dasar perkalian.
c. Penguasaan fakta dasar pembagian
Dapat dilakukan dengan banyak berlatih memecahkan masalah pembagian sederhana. Aktivitas yang menggunakantabel perkalian dapat dipakai untuk meningkatkan penguasaan fakta dasar perkalian. Disamping itu dapat memodifikasi pembelajaran dengan kartu domino atau kartu bridge dengan menuliskan soal-soal tentang fakta dasar pembagian ini ke dalamnya.
d. Algoritma pembagian
Pengenalan algoritma pembagianpun hendaknya diawali dengan memberikan pengalaman melakukan pembagian dengan menggunakan benda-benda konkret, baru kemudiam diteruskan dnegan menggunakan algoritma simbol dan lambang bilangan.
