DASAR-DASAR GEOMETRI

Titik, Garis, Segmen, Sinar, Bidang, dan Sudut

1. Titik

       Gambaran secara umum tentang geometri diantaranya berkaitan hubungn titik-titik, garis-garis, sudut-sudut, permukaan, dan benda-benda padat. Dalam sistem matematika titik bagian dari  istilah yang tidak didefinisikan atau dengan kata sederhana sebagai pangkal. Oleh karena itu, titik merupakan ide abstrak yang dipahami secara intuitif yang artinya hanya ada dalam pikiran orang yang memikirkannya.

      Untuk memahami ide ini, titik sering diilustrasikan dengan bentuk-bentuk konkritmisalkanya noktah, dan sudut-sidut-sudut dari suatu kotak atau pojok -pojok suatu ruangan. Walau ilustrasi ini memiliki lebar dan ketebalan, namun sesungguhnya titik tidak memiliki dimensi. Titik tidak berwujud, tidak berbentuk, tidak mempunyai berat, tidak memiliki ukuran seperti panjang, lebar maupun tinggi. 

       Titik pada umunya diberi nama dengan huruf KAPITAL. Nama tersebut diletakkan berdekatan dengan titik tersebut. Apakah di atas, di bawah, disamping kiri atau kanan dari titik tersebut.

2. Garis, Segmen Garis dan Sinar

        Dalam ilmu geometri, titik merupakan salah satu istilah mendasar. Seluruh bentuk geometris dapat dinyatakan sebagai kumpulan titik. Suatu garis merupakan kumpulan titik-titik yang dapat dideskripsikan secara intuitif menjadi suatu garis dan diperpanjang secara tidak terbatas di kedua arah. Sutau garis disimbolkan dengan huruf kecil, misalnya garis l, m, n. Tanda panah menunjukkan bahwa garis kontinu secara tidak terbatas pada kedua arah. Jika titik merupakan unsur geometris yang tidak berdimensi namun, untuk garis memiliki dimensi yaitu panjang (linier).

     Dari suatu garis dapat dibentuk beberapa segmen atau ruas garis (line segment), dengan menentukan dua titik sembarang pada garis tersebut. Misalkan pada garis m, diambil titik A dan B secara sembarang, sehingga diperoleh segmen garis AB yang disimbolkan dengan  AB ada garis di atasnya.

    Pada segmen garis AB tadi, titik A dan B merupakn titik ujung (endpoint). dua titik atau lebih yang terletak pada garis yang sama disebut titik segaris atau kolinear.

    Jika titik B pada garis m bukan merupkan titik ujung, dan hanya ada titik A, akan diperoleh sinar garis.  yang dinotasikan AB diatasnya ada anak panah ke kanan, dimana A sebagai titik ujung atau pangkal. 

3. Bidang

    Bidang dapat diartikan sebagai permukaan rata 9datar) yang menyebar ke segala arah dan tak terbatas. Jika diilustrasikan secara konkrit diilustrasikan seperti dinding tembok, lantai ruang kelas, permukaan pintu. Secara konseptual suatu bidang dibentuk oleh kumpulan titik yang berada pada dimensi yang sama. Bidang biasanya dinotasikan dengan abjad Yunani sepeti ⍺ (alpha), ꞵ (beta), ℽ (gamma) dibagian sudut kiri bawah.

4. Sudut

    Sudut merupakan gabungan dua ruas aris atau sinar garis dengan titik ujung yang sama. titik ujung ini, dinamakan sebagai titik sudut. Sementara ruas atau sinar garis yang membnetuk sudut disebut sisi sudut. Penamaan suatu sudut menggunakan huruf kapital dengan satu huruf atau tiga huruf. Pemberian nama dengaan satu huruf sesuai dengan titik sudutnya. Kemudian, untuk p-emberian nama dengan tiga huruf disesuaikan dengan huruf pada salah satu sisi sudut diikuti dengan titik sudutnya dan huruf pada sisi sudutnya yang lain. Sudut disimbolkan dengan "∠ "

Materi tambahan lebih jelas dengan Geogebra

Materi lengkapnya (klik disini)

Soal Latihan

(untuk mengingat materi sebelumnya silahkan bisa kerjakan LK konsep geometri, kemudian dilanjutkan dengan LK bidang dua dimensi)

dikumpulkan dalam bentuk softfile paling lambat Kamis, 21 Maret 2024 pukul 23.59 WIB di link yang sudah ditentukan sesuai dengan kelas!

KELAS 01

KELAS 02

KELAS 03

KELAS 04

 Format filename : LK1_NAMA_NPM. pdf (untuk LK konsep geometri) & LK2_NAMA_NPM. pdf (untuk LK bidang dua dimensi)

Selamat Belajar ya

Logika Matematika

Pengertian Logika Matematika

Logika Matematika adalah ilmu formal yang mempelajari prinsip-prinsip dasar dari pemikiran dan alasan yang benar dalam bidang matematika. Tujuan dari logika matematika adalah memastikan bahwa argumen matematika yang dibuat benar secara formal dan logis. 

Pernyataan

Setiap kumpulan kata yang berarti yang disusun menurut aturan tata bahasa disebut sebagai kalimat. kalimat yang menyatakan konsep matematika atau pernyataan yang dapat diuji kebenarannya menggunakan prinsip-prinsip logika matematika. Logika matematika biasanya terdiri dari simbol-simbol matematika, variabel, dan operator matematika. Kalimat yang digunakan dalam logika matematika adalah kalimat-kalimat yang menerangkan. Contoh kalimat yang menerangkan antara lain :

1. Semarang ibukota Jawa Tengah (bernilai benar atau B)

2. 9 adalah bilangan komposit (bernilai benar atau B)

3. 7 kurang dari 4 (bernilai salah atau S)

dalam matematika tidak akan dibahas kalimat seperti contoh

1. Apakah Ranum berada di rumahmu? (kalimat tanya)

2. Buka buku itu ! (kalimat perintah / seru)

3. Mudah-mudahan lekas sembuh (kalimat harapan)

Kalimat yang mempunyai nilai kebenaran, yaitu nilai benar atau nilai salah dan bukan keduanya disebut pernyataan. 

Perbedaan antara pernyataan dengan proposisi . Proposisi hanya berlaku pada kalimat yang bermakna dimana kalimat tersebut bisa menyatakan nilai benar saja atau nilai salah saja. Sehingga, suatu proposisi adalah pernyataan sedangkan pernyataan belum tentu proposisi. 

Pernyataan majemuk

Pernyataan-pernyataan sederhana yang dirangkai dengan menggunakan kata perangkai (penghubung)

1.“atau” dengan simbol “

 "atau" dengan simbol "∨"

 “dan” dengan  simbol “∧"

  “ jika … maka … “ dengan simbol "⟹"

  “jika dan hanya jika” dengan simbol "⟺"

sedangkan untuk simbol negasi atau sangkalan dari suatu pernyataan diberi simbol "~ " yang di letakkan di depan pernyataan-pernyataan yang telah diberi simbol dengan huruf kecil: a,b,c, .... Sehingga, pernyataan yang tadinya Benar menjadi Salah dan sebaliknya.

Tautologi adalah proposisi majemuk yang benar dalam segala hal tanpa mempertimbangkan nilai kebenaran komponen-komponennya.

Contoh:

p ∨ ~( p ∧ q )

Kontradiksi adalah proposisi majemuk yang salah dalam segala hal tanpa mempertimbnagkan nilai kebenaran komponen-komponennya

Contoh:

~( p ∧ q ) ∧ ~( p ∨ q )

______________________________________________________________________________________________________________________

Negasi (Sangkalan/ Ingkaran)

Jika "a" menyatakan " Sita suka nasi goreng", maka negasi a atau ~a, menjadi "Tidak benar Sita suka nasi goreng" atau dengan bahasa sehari-hari "Sita tidak suka nasi goreng".

Ingat : ~ (p < q ) adalah p ≥ q

    dan ~ (p > q ) adalah p ≤ q

"Ada" ingkarannya "Beberapa"

Konjungsi ("dan" "∧")

Konjungsi dua pernyataan "p dan q"  ditulis " p ⋀ q" atau "p & q". Nilai kebenaran dari konjungsi dinyatakan dengan tabel nilai kebenaran di bawah ini.

Konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai Benar, dan tidak perlu memperhatikan ada tidaknya hubungan pernyataan-pernyataan tunggalnya.

Contoh :

Sisi cantik dan Sisi pandai, disingkat menjadi  Sisi cantik dan pandai

Disjungsi ("atau" "∨")

Disjungsi  dua pernyataan ditulis "p atau q" ditulis "p ∨ q" . nilai kebenaran dari disjungsi dinyatakan dalam tabel nilai kebenaran berikut

Dapat dikatakan bahwa disjungsi dari dua pernyataan bernilai Benar,  jika salah satu pernyataan bernilai Benar.

Contoh:

7 adalah bilangan prima dan 7 lebih besar dari 8, adalah disjungsi yang bernilai Benar

Implikasi atau Kondisional ("jika .. , maka ..." "⇒ ")

p implikasi q ditulis " p⟹q " dibaca " jika p maka q". p disebut sebagai pendahulu (anteseden) dan b disebut pengikut (consequent). Nama lain p disebut hipotesis dan q disebut konklusi (kesimpulan). Tabel nilai kebenarannya dapat dilihat seperti berikut.

Implikasi bernilai Salah hanya jika pernyataan anteseden bernilai Benar dan pernyataan consequent bernilai Salah. 

contoh:

Ari lulus ujian, maka ayah membelikan jam tangan (suatu janji)

Apabila bel berdering tiga kali, maka pertanda sekolah telah usai (suatu tanda)

Jika Rumi terlambat makan, maka akan terkena sakit mag (sebab akibat)

Apabila dua segitiga siku-siku sama kaki, maka dua segitiga itu sebangun (pengikut diturunkan dari pendahulunya)

Hal yang perlu diperhatikan, ialah:

• Implikasi selalu bernilai Benar, apabila pernyataan pendahulunya bernilai Salah, tanpa memperhatikan nilai kebenaran pernyataan pengikutnya
• Implikasi selalu bernilai Benar, jika pernyataan pengikutnya bernilai Benar, tanpa memperhatikan kebenaran pernyataan pendahulunya 

dapat dikatakan apabila  p ⇒ q, bernilai Benar, maka:

• p disebut syarat cukup bagi q, atau
• q disebut syarat perlu bagi p

Rumus dalam Implikasi

Apabila diketahui  p ⇒ q , maka

 q ⇒ p disebut konvers dari  p ⇒ q

 ~p ⇒ ~q disebut invers dari  p ⇒ q

 ~q ⇒ ~p disebut kontraposisi dari p ⇒ q

dengan tabel nilai kebenaran sebagai berikut.

Biimplikasi atau Bikondisional (" ...jika dan hanya jika ..." "⇔")

biimplikasi dari p dan q (disimbolkan dengan p ⇔ q) bernilai Benar jika kedua pernyataannya mempunyai nilai kebenaran yang sama dan bernilai Salah apabila kedua pernyataannya memiliki nilai kebenaran yang berbeda. berikut tabel nilai kebenarannya.

Kuis 1 (berbatas sampai pertemuan Jum'at , 3 Maret 2023 pukul 23.59 WIB)

1. Tentukan negasi dari pernyataan di bawah ini:

    a. Ada kendaraan beroda 8

    b. Tidak ada orang yang mempunyai 3 tangan

2. Tentukan nilai kebenarannya dari setiap pernyataan berikut.

    a. Jika 4 < 6 maka -4 > -6

    b. Tidak benar bahwa 3 +2 = 5 atau 4 x 2 = 6

3. Tentukan tabel nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut.

   a. (p ∨ q) ∨ r 

   b. p ∨ r ⇔ r & ~t

4. Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari implikasi berikut.

   a. ~p ⇒ q

   b. p ⇒ q & r

5. Misalkan "a" menyatakan "Vina adalah gadis cantik" dan "b" menyatakan "Vina 

    berambut ikal". Tuliskan setiap pernyataan dibawha ini dengan simbol-simbol a 

    dan b.

   a. Tidak benar bahwa Vina gadis cantik atau berambut ikal

   b. Vina bukan gadis cantik dan berambut ikal

- Selamat Mengerjakan-

Link Pengumpulan:

Kelas 201

Kelas 202

Kelas 203

Kelas 204

Format File : KELAS_NAMA_NPM.pdf (hasil pekerjaan di folio bergaris kemudian discan)